[tex3]|V_a - V_b | < \sqrt{2ad}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Física I ⇒ Condição necessária para dois carros não se colidirem Tópico resolvido
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Mai 2019
15
22:01
Condição necessária para dois carros não se colidirem
Dois carros A e B movem-se no mesmo sentido com velocidades [tex3]V_a[/tex3]
[tex3]|V_a - V_b | < \sqrt{2ad}[/tex3]
e [tex3]V_b[/tex3]
, respectivamente. Quando o carro A está a distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante de módulo a. Qual a condição necessária para que não haja colisão entre A e B?Resposta
[tex3]|V_a - V_b | < \sqrt{2ad}[/tex3]
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Mai 2019
15
22:28
Re: Condição necessária para dois carros não se colidirem
Olá miltonsermoud,
Primeiramente, podemos montar as equações das posições dos carros:
Para o carro A:
[tex3]S_A = V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2}[/tex3]
Para o carro B:
[tex3]S_B = d + V_B \cdot t[/tex3]
Agora, podemos igualar as equações:
[tex3]V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} = d + V_B \cdot t[/tex3]
Note que podemos obter uma equação do [tex3]2º[/tex3] :
[tex3]V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} - d + V_B \cdot t = 0[/tex3]
Ou ainda:
[tex3]- \frac{a \cdot t^2}{2} + V_A \cdot t - V_B \cdot t - d= 0[/tex3]
[tex3]- \frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) - d= 0[/tex3]
Multiplicando todos os termos por [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]\frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) + d= 0[/tex3]
Nesse sentido, se a equação tiver [tex3]\Delta = 0[/tex3] , há raízes [tex3]\in \mathbb R[/tex3] e ocorre a colisão. Se, as raízes [tex3]\in \mathbb C[/tex3] , então, não ocorre colisão. Desse modo, é preciso que:
[tex3]\Delta < 0[/tex3]
[tex3]b^2 - 4 \cdot a \cdot c < 0[/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 - 4 \cdot \frac{a }{2} \cdot d < 0[/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 < 4 \cdot \frac{a }{2} \cdot d [/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 < 2 \cdot a \cdot d [/tex3]
Logo:
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{|\left(V_A - V_B\right)| < \sqrt{2 \cdot a \cdot d}} }[/tex3]
Primeiramente, podemos montar as equações das posições dos carros:
Para o carro A:
[tex3]S_A = V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2}[/tex3]
Para o carro B:
[tex3]S_B = d + V_B \cdot t[/tex3]
Agora, podemos igualar as equações:
[tex3]V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} = d + V_B \cdot t[/tex3]
Note que podemos obter uma equação do [tex3]2º[/tex3] :
[tex3]V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} - d + V_B \cdot t = 0[/tex3]
Ou ainda:
[tex3]- \frac{a \cdot t^2}{2} + V_A \cdot t - V_B \cdot t - d= 0[/tex3]
[tex3]- \frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) - d= 0[/tex3]
Multiplicando todos os termos por [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]\frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) + d= 0[/tex3]
Nesse sentido, se a equação tiver [tex3]\Delta = 0[/tex3] , há raízes [tex3]\in \mathbb R[/tex3] e ocorre a colisão. Se, as raízes [tex3]\in \mathbb C[/tex3] , então, não ocorre colisão. Desse modo, é preciso que:
[tex3]\Delta < 0[/tex3]
[tex3]b^2 - 4 \cdot a \cdot c < 0[/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 - 4 \cdot \frac{a }{2} \cdot d < 0[/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 < 4 \cdot \frac{a }{2} \cdot d [/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 < 2 \cdot a \cdot d [/tex3]
Logo:
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{|\left(V_A - V_B\right)| < \sqrt{2 \cdot a \cdot d}} }[/tex3]
Editado pela última vez por Planck em 15 Mai 2019, 22:30, em um total de 1 vez.
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Mai 2019
16
15:52
Re: Condição necessária para dois carros não se colidirem
Como o fato de Δ ser nulo implica na colisão dos automóveis? Por causa de d poder ser igual a 0? Afinal [tex3]V_a[/tex3] e [tex3]V_b[/tex3] são (nesse caso) não-nulos e a aceleração de A é menor que 0.
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Mai 2019
16
16:01
Re: Condição necessária para dois carros não se colidirem
Se o [tex3]\Delta[/tex3] for nulo, haverá duas raízes reais e iguais (exatamente o instante da suposta colisão), ou seja, haverá [tex3]t_1=t_2[/tex3] em que ocorrerá a colisão. Com isso, a distância será [tex3]0[/tex3] . Graficamente, a reta e a parábola não podem se interceptar. No entanto, para analisar a colisão, busquei justamente a ocasião em que os carros se encontram e a reta e a parábola interceptam-se. Ou seja:miltonsermoud escreveu: ↑16 Mai 2019, 15:52 Como o fato de Δ ser nulo implica na colisão dos automóveis? Por causa de d poder ser igual a 0? Afinal [tex3]V_a[/tex3] e [tex3]V_b[/tex3] são (nesse caso) não-nulos e a aceleração de A é menor que 0.
[tex3]S_A = S_B[/tex3]
Desse modo, obtive a equação do segundo grau. Se a equação tiver raízes reais, ocorre a interceptação, o que não queremos. A única condição que não há raízes reais é quando o [tex3]\Delta < 0[/tex3] . A ideia é um exercício dentro do outro!
Editado pela última vez por Planck em 16 Mai 2019, 16:16, em um total de 1 vez.
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Mai 2019
16
16:32
Re: Condição necessária para dois carros não se colidirem
Uma parábola que encontrei, para ilustrar a situação, é quando [tex3]V_a = V_b = 5 \, [m/s][/tex3]
Nessa condições:
[tex3]\frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) + d= 0[/tex3]
[tex3]-1 \cdot t^2 + \cancelto{0}{t \cdot (5 - 5)} -1= 0[/tex3]
[tex3]-t^2 = 1[/tex3]
[tex3]t^2 = -1[/tex3]
[tex3]t = i[/tex3]
A colisão ocorre em outra dimensão!
e a desaceleração de [tex3]A[/tex3]
é [tex3]2 \, [m/s^2][/tex3]
. O espaço entre os carros é de [tex3]-1[/tex3]
, considerando o referencial em [tex3]B[/tex3]
, ou seja, [tex3]A[/tex3]
está atrás de [tex3]B[/tex3]
. Nessa condições:
[tex3]\frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) + d= 0[/tex3]
[tex3]-1 \cdot t^2 + \cancelto{0}{t \cdot (5 - 5)} -1= 0[/tex3]
[tex3]-t^2 = 1[/tex3]
[tex3]t^2 = -1[/tex3]
[tex3]t = i[/tex3]
A colisão ocorre em outra dimensão!
Editado pela última vez por Planck em 16 Mai 2019, 16:41, em um total de 1 vez.
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Mai 2019
16
17:49
Re: Condição necessária para dois carros não se colidirem
Maravilha, Planck! Obrigado!
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