[tex3]|V_a - V_b | < \sqrt{2ad}[/tex3]
Física I ⇒ Condição necessária para dois carros não se colidirem Tópico resolvido
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Mai 2019
15
22:01
Condição necessária para dois carros não se colidirem
Dois carros A e B movem-se no mesmo sentido com velocidades [tex3]V_a[/tex3]
[tex3]|V_a - V_b | < \sqrt{2ad}[/tex3]
e [tex3]V_b[/tex3]
, respectivamente. Quando o carro A está a distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante de módulo a. Qual a condição necessária para que não haja colisão entre A e B?Resposta
[tex3]|V_a - V_b | < \sqrt{2ad}[/tex3]
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Mai 2019
15
22:28
Re: Condição necessária para dois carros não se colidirem
Olá miltonsermoud,
Primeiramente, podemos montar as equações das posições dos carros:
Para o carro A:
[tex3]S_A = V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2}[/tex3]
Para o carro B:
[tex3]S_B = d + V_B \cdot t[/tex3]
Agora, podemos igualar as equações:
[tex3]V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} = d + V_B \cdot t[/tex3]
Note que podemos obter uma equação do [tex3]2º[/tex3] :
[tex3]V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} - d + V_B \cdot t = 0[/tex3]
Ou ainda:
[tex3]- \frac{a \cdot t^2}{2} + V_A \cdot t - V_B \cdot t - d= 0[/tex3]
[tex3]- \frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) - d= 0[/tex3]
Multiplicando todos os termos por [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]\frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) + d= 0[/tex3]
Nesse sentido, se a equação tiver [tex3]\Delta = 0[/tex3] , há raízes [tex3]\in \mathbb R[/tex3] e ocorre a colisão. Se, as raízes [tex3]\in \mathbb C[/tex3] , então, não ocorre colisão. Desse modo, é preciso que:
[tex3]\Delta < 0[/tex3]
[tex3]b^2 - 4 \cdot a \cdot c < 0[/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 - 4 \cdot \frac{a }{2} \cdot d < 0[/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 < 4 \cdot \frac{a }{2} \cdot d [/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 < 2 \cdot a \cdot d [/tex3]
Logo:
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{|\left(V_A - V_B\right)| < \sqrt{2 \cdot a \cdot d}} }[/tex3]
Primeiramente, podemos montar as equações das posições dos carros:
Para o carro A:
[tex3]S_A = V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2}[/tex3]
Para o carro B:
[tex3]S_B = d + V_B \cdot t[/tex3]
Agora, podemos igualar as equações:
[tex3]V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} = d + V_B \cdot t[/tex3]
Note que podemos obter uma equação do [tex3]2º[/tex3] :
[tex3]V_A \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} - d + V_B \cdot t = 0[/tex3]
Ou ainda:
[tex3]- \frac{a \cdot t^2}{2} + V_A \cdot t - V_B \cdot t - d= 0[/tex3]
[tex3]- \frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) - d= 0[/tex3]
Multiplicando todos os termos por [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]\frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) + d= 0[/tex3]
Nesse sentido, se a equação tiver [tex3]\Delta = 0[/tex3] , há raízes [tex3]\in \mathbb R[/tex3] e ocorre a colisão. Se, as raízes [tex3]\in \mathbb C[/tex3] , então, não ocorre colisão. Desse modo, é preciso que:
[tex3]\Delta < 0[/tex3]
[tex3]b^2 - 4 \cdot a \cdot c < 0[/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 - 4 \cdot \frac{a }{2} \cdot d < 0[/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 < 4 \cdot \frac{a }{2} \cdot d [/tex3]
[tex3]\left(V_A - V_B\right)^2 < 2 \cdot a \cdot d [/tex3]
Logo:
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{|\left(V_A - V_B\right)| < \sqrt{2 \cdot a \cdot d}} }[/tex3]
Editado pela última vez por Planck em 15 Mai 2019, 22:30, em um total de 1 vez.
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Mai 2019
16
15:52
Re: Condição necessária para dois carros não se colidirem
Como o fato de Δ ser nulo implica na colisão dos automóveis? Por causa de d poder ser igual a 0? Afinal [tex3]V_a[/tex3] e [tex3]V_b[/tex3] são (nesse caso) não-nulos e a aceleração de A é menor que 0.
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Mai 2019
16
16:01
Re: Condição necessária para dois carros não se colidirem
Se o [tex3]\Delta[/tex3] for nulo, haverá duas raízes reais e iguais (exatamente o instante da suposta colisão), ou seja, haverá [tex3]t_1=t_2[/tex3] em que ocorrerá a colisão. Com isso, a distância será [tex3]0[/tex3] . Graficamente, a reta e a parábola não podem se interceptar. No entanto, para analisar a colisão, busquei justamente a ocasião em que os carros se encontram e a reta e a parábola interceptam-se. Ou seja:miltonsermoud escreveu: ↑16 Mai 2019, 15:52 Como o fato de Δ ser nulo implica na colisão dos automóveis? Por causa de d poder ser igual a 0? Afinal [tex3]V_a[/tex3] e [tex3]V_b[/tex3] são (nesse caso) não-nulos e a aceleração de A é menor que 0.
[tex3]S_A = S_B[/tex3]
Desse modo, obtive a equação do segundo grau. Se a equação tiver raízes reais, ocorre a interceptação, o que não queremos. A única condição que não há raízes reais é quando o [tex3]\Delta < 0[/tex3] . A ideia é um exercício dentro do outro!
Editado pela última vez por Planck em 16 Mai 2019, 16:16, em um total de 1 vez.
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Mai 2019
16
16:32
Re: Condição necessária para dois carros não se colidirem
Uma parábola que encontrei, para ilustrar a situação, é quando [tex3]V_a = V_b = 5 \, [m/s][/tex3]
Nessa condições:
[tex3]\frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) + d= 0[/tex3]
[tex3]-1 \cdot t^2 + \cancelto{0}{t \cdot (5 - 5)} -1= 0[/tex3]
[tex3]-t^2 = 1[/tex3]
[tex3]t^2 = -1[/tex3]
[tex3]t = i[/tex3]
A colisão ocorre em outra dimensão!
e a desaceleração de [tex3]A[/tex3]
é [tex3]2 \, [m/s^2][/tex3]
. O espaço entre os carros é de [tex3]-1[/tex3]
, considerando o referencial em [tex3]B[/tex3]
, ou seja, [tex3]A[/tex3]
está atrás de [tex3]B[/tex3]
. Nessa condições:
[tex3]\frac{a \cdot t^2}{2} + t \cdot (V_A - V_B) + d= 0[/tex3]
[tex3]-1 \cdot t^2 + \cancelto{0}{t \cdot (5 - 5)} -1= 0[/tex3]
[tex3]-t^2 = 1[/tex3]
[tex3]t^2 = -1[/tex3]
[tex3]t = i[/tex3]
A colisão ocorre em outra dimensão!
Editado pela última vez por Planck em 16 Mai 2019, 16:41, em um total de 1 vez.
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Mai 2019
16
17:49
Re: Condição necessária para dois carros não se colidirem
Maravilha, Planck! Obrigado!
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