Física I ⇒ Movimento Relativo

[snooplammer]

A partir de uma boia fixa, que se encontra no meio de um rio, partiram os botes A e B. Os botes tomaram direções perpendiculares entre si: o bote A descendo o rio e o B perpendicular à correnteza. Quando estavam separados a uma mesma distância da boia, os botes regressaram. Se a relação entre os tempos consumidos por cada bote é [tex3]\frac{T_B}{T_A}=3[/tex3]

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[tex3]\frac{T_B}{T_A}=3[/tex3]

, determine o valor de [tex3]2K^2[/tex3]

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[tex3]2K^2[/tex3]

, onde K é o número que a velocidade dos botes supera a velocidade da correnteza

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Resposta

---

[tex3]\frac{9}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{9}{4}[/tex3]

[Tassandro]

snooplammer,
Não cheguei ao gabarito
Mas eis a minha ideia:
O enunciado tá meio confuso, mas eu fiz que
[tex3]V_A=V_B=KV_C[/tex3]

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[tex3]V_A=V_B=KV_C[/tex3]

Para o barco B, tanto na ida quanto na volta a velocidade em relação a boia é a mesma, a saber, [tex3]\sqrt{V^2+V_C^2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{V^2+V_C^2}[/tex3]

Para o corpo A, temos que na ida a velocidade é [tex3]V_A+V_C,[/tex3]

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[tex3]V_A+V_C,[/tex3]

na volta, [tex3]V_A-V_C[/tex3]

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[tex3]V_A-V_C[/tex3]

Seja d a distância descrita no enunciado.
Podemos fazer:
[tex3]\sqrt{V_B^2+V_C^2}=\frac{2d}{T_B}\\
\frac{d}{V_A+V_C}+\frac{d}{V_A-V_C}=T_A\implies\frac{V_A}{V_A^2-V_C^2}=\frac{T_A}{2d}\implies\frac{V_A^2-V_C^2}{V_A}=\frac{2d}{T_A}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{V_B^2+V_C^2}=\frac{2d}{T_B}\\
\frac{d}{V_A+V_C}+\frac{d}{V_A-V_C}=T_A\implies\frac{V_A}{V_A^2-V_C^2}=\frac{T_A}{2d}\implies\frac{V_A^2-V_C^2}{V_A}=\frac{2d}{T_A}[/tex3]

Dividindo as duas equações...
[tex3]\frac{T_A}{T_B}=\frac13=\frac{\sqrt{V_B^2+V_C^2}V_A}{V_A^2-V_C^2}\implies\\
V_A^4-2(V_AV_C)^2+V_C^4=9(V_AV_B)^2+9(V_AV_C)^2\implies\\
K^4V_C^4-2K^2V_C^4+V_C^4=9K^4V_C^4+9K^2V_C^4\implies\\
8K^4+11K^2-1=0\implies\\
K^2=\frac{-11+\sqrt{153}}{16}[/tex3]

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[tex3]\frac{T_A}{T_B}=\frac13=\frac{\sqrt{V_B^2+V_C^2}V_A}{V_A^2-V_C^2}\implies\\
V_A^4-2(V_AV_C)^2+V_C^4=9(V_AV_B)^2+9(V_AV_C)^2\implies\\
K^4V_C^4-2K^2V_C^4+V_C^4=9K^4V_C^4+9K^2V_C^4\implies\\
8K^4+11K^2-1=0\implies\\
K^2=\frac{-11+\sqrt{153}}{16}[/tex3]

Não deu muito certo...