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Em 2017, foi colocado em órbita, a 36.000 km de altitude, o primeiro satélite geoestacionário brasileiro (SGDC). Com custo de cerca de 2 bilhões de reais, o satélite, de aproximadamente 6.000 kg de massa, gira em volta da Terra com velocidade aproximada de 10.800 km/h e deve, nos próximos 18 anos, colaborar com a transmissão de dados com alta velocidade e qualidade na banda Ka. Assinale a alternativa que representa, respectivamente, o módulo da força gravitacional que o planeta Terra aplica no satélite para manter o SGDC em uma órbita circular e o módulo da força gravitacional que o satélite exerce no planeta Terra, ambas em Newtons.
(Dados: raio da Terra = 6.500 km.)

A) 150 e 1500
B) 1270 e 1270
C) 1500 e 1500
D) 16467 e 16467
E) 19440 e 16467

Olá Luu,

Primeiramente, podemos considerar que a força gravitacional será igual a força centrípeta, haja vista que o satélite exerce, unicamente, um movimento circular. Desse modo:

[tex3]\vec F_g =\vec F_{cp}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec F_g =\vec F_{cp}[/tex3]

Desenvolvendo a força centrípeta:

[tex3]\vec F_g =\frac{m \cdot \vec v^2}{\vec R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec F_g =\frac{m \cdot \vec v^2}{\vec R}[/tex3]

Vou considerar que [tex3]|\vec R |[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec R |[/tex3]

é a distância total. Portanto:

[tex3]|\vec F_g|=\frac{m \cdot |\vec v|^2}{|\vec R|}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{m \cdot |\vec v|^2}{|\vec R|}[/tex3]

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot |\vec v|^2}{(36000+6500)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot |\vec v|^2}{(36000+6500)}[/tex3]

A velocidade precisa estar no Sistema Internacional de Medidas.

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot (3000)^2}{(36000+6500)\cdot 10^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot (3000)^2}{(36000+6500)\cdot 10^3}[/tex3]

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot 9000}{42500 \cdot 10^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot 9000}{42500 \cdot 10^3}[/tex3]

Vamos simplifcar os cálculos:

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot 30^2 \cdot 100^2}{42500 \cdot 10^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot 30^2 \cdot 100^2}{42500 \cdot 10^3}[/tex3]

[tex3]|\vec F_g|=\frac{12 \cdot 30^2 \cdot 10^4}{85 \cdot 10^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{12 \cdot 30^2 \cdot 10^4}{85 \cdot 10^3}[/tex3]

[tex3]|\vec F_g|=\frac{12 \cdot 30^2 \cdot 10}{85 }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{12 \cdot 30^2 \cdot 10}{85 }[/tex3]

[tex3]|\vec F_g|=\frac{12 \cdot 30^2 \cdot 2}{17 }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{12 \cdot 30^2 \cdot 2}{17 }[/tex3]

[tex3]|\vec F_g|=\frac{24 \cdot 30^2}{17 }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{24 \cdot 30^2}{17 }[/tex3]

[tex3]|\vec F_g|=\frac{21600}{17 }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{21600}{17 }[/tex3]

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{|\vec F_g|\approx 1270[N]}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{|\vec F_g|\approx 1270[N]}}[/tex3]

Pela 3º Lei de Newton, a força que a Terra exerce no satélite é a mesma que o satélite exerce na Terra:

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{|\vec F_s|\approx 1270[N]}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{|\vec F_s|\approx 1270[N]}}[/tex3]

Planck escreveu: ↑

Seg 15 Abr, 2019 18:57

A velocidade precisa estar no Sistema Internacional de Medidas.

|F⃗ g|=6.000⋅(3000)2(36000+6500)⋅103|F→g|=6.000⋅(3000)2(36000+6500)⋅103

|F⃗ g|=6.000⋅900042500⋅103|F→g|=6.000⋅900042500⋅103

(3000)² = 9000 ou eu que não vi algo?

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot (3000)^2}{(36000+6500)\cdot 10^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot (3000)^2}{(36000+6500)\cdot 10^3}[/tex3]

Da onde seria esse 10³? Planck?

eumarccoss escreveu: ↑

Seg 27 Mai, 2019 19:26

Planck escreveu: ↑

Seg 15 Abr, 2019 18:57

A velocidade precisa estar no Sistema Internacional de Medidas.

|F⃗ g|=6.000⋅(3000)2(36000+6500)⋅103|F→g|=6.000⋅(3000)2(36000+6500)⋅103

|F⃗ g|=6.000⋅900042500⋅103|F→g|=6.000⋅900042500⋅103

(3000)^2 = 9000 ou eu que não vi algo?

Ali era para ser [tex3]3000^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3000^2[/tex3]

, erro de digitação:

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot 3000^2}{42500 \cdot 10^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot 3000^2}{42500 \cdot 10^3}[/tex3]

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot 30^2 \cdot 100^2}{42500 \cdot 10^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot 30^2 \cdot 100^2}{42500 \cdot 10^3}[/tex3]

Daí, segue-se a resolução.

eumarccoss escreveu: ↑

Seg 27 Mai, 2019 19:28

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot (3000)^2}{(36000+6500)\cdot 10^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\vec F_g|=\frac{6.000 \cdot (3000)^2}{(36000+6500)\cdot 10^3}[/tex3]

Da onde seria esse 10³? Planck?

Surge da conversão de [tex3]\text {[km]} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text {[km]} [/tex3]

para [tex3]\text{[m]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{[m]}[/tex3]

. No caso, coloquei [tex3]10^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^3[/tex3]

em evidência.