Física I ⇒ Dinâmica do movimento circular Tópico resolvido

[Henrique1]

No sistema da figura, a bolinha de massa m está amarrada ao eixo vertical AB por fios de massa desprezível, e gira com velocidade angular w em torno desse eixo. A distância AB vale L.

a) Qual a tração no fio?
b) Para que valor de w o fio inferior ficaria frouxo?

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Resposta

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Ta=[tex3]\frac{m}{2}(\frac{3w^{2}L}{4}+g)[/tex3]

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[tex3]\frac{m}{2}(\frac{3w^{2}L}{4}+g)[/tex3]

; Tb=[tex3]\frac{\sqrt{3}m}{2}(\frac{w^{2}L}{4}-g)[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{3}m}{2}(\frac{w^{2}L}{4}-g)[/tex3]

; w=2 [tex3]\sqrt{\frac{g}{L}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{g}{L}}[/tex3]

[Killin]

Seja R a distância da bolinha à AB e o qual usaremos na centrípeta. Seja K o ponto em que R toca AB, temos:

[tex3]tg60º=R/AK \rightarrow AK=R/\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]tg60º=R/AK \rightarrow AK=R/\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]tg30º=R/BK \rightarrow BK =3R/\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]tg30º=R/BK \rightarrow BK =3R/\sqrt{3}[/tex3]

Mas L = AK + BK: [tex3]L=R\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}} \right) \rightarrow R=\frac{L\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]L=R\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}} \right) \rightarrow R=\frac{L\sqrt{3}}{4}[/tex3]

Ok. Montando as equações das trações, temos:


[tex3]\begin{cases}T_Acos60º=mg+T_Bcos 30º \rightarrow \frac{1}{2}T_A=mg+\frac{\sqrt{3}}{2} T_B \rightarrow T_A=2mg+ \sqrt{3}T_B \ (i)\\ T_Asen60º+T_Bsen 30º=mw^2R \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}T_A+\frac{1}{2}T_B=mw^2R \rightarrow \sqrt{3}T_A+T_B=2mw^2R \ (ii) \end{cases} [/tex3]

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[tex3]\begin{cases}T_Acos60º=mg+T_Bcos 30º \rightarrow \frac{1}{2}T_A=mg+\frac{\sqrt{3}}{2} T_B \rightarrow T_A=2mg+ \sqrt{3}T_B \ (i)\\ T_Asen60º+T_Bsen 30º=mw^2R \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}T_A+\frac{1}{2}T_B=mw^2R \rightarrow \sqrt{3}T_A+T_B=2mw^2R \ (ii) \end{cases} [/tex3]

(i) em (ii): [tex3]\sqrt{3}(2mg+\sqrt{3}T_B)+T_B=2mw^2R \\ 4T_B=2m(w^2R-\sqrt{3}g)=2m\left(w^2 \frac{\sqrt{3} L}{4}- \sqrt{3}g\right) \\ \boxed{T_B=\frac{\sqrt{3}m}{2}\left(\frac{w^2L}{4}-g\right)}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}(2mg+\sqrt{3}T_B)+T_B=2mw^2R \\ 4T_B=2m(w^2R-\sqrt{3}g)=2m\left(w^2 \frac{\sqrt{3} L}{4}- \sqrt{3}g\right) \\ \boxed{T_B=\frac{\sqrt{3}m}{2}\left(\frac{w^2L}{4}-g\right)}[/tex3]

.

Agora é só substituir em (i) que você acha [tex3]T_A[/tex3]

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[tex3]T_A[/tex3]

Se o fio inferior está frouxo, a tração nele é nula, isso implica [tex3]\frac{w^2L}{4}=g \Rightarrow \boxed{w=2\sqrt{\frac{g}{L}}}[/tex3]

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[tex3]\frac{w^2L}{4}=g \Rightarrow \boxed{w=2\sqrt{\frac{g}{L}}}[/tex3]