Física IDemonstração da aceleração centrípeta para o caso do movimento circular uniforme

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Auto Excluído (ID:19677)
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Abr 2018 18 19:36

Demonstração da aceleração centrípeta para o caso do movimento circular uniforme

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19677) »

Na teoria, afirmamos que a aceleração centrípeta [tex3]\vec{a_c}[/tex3] tem módulo dado por [tex3]|\vec{a_c}|=\frac{|\vec{v}|^2}{|R|}[/tex3] . Justificaremos agora essa afirmativa para o caso do movimento circular uniforme.

Consideremos, então, uma partícula em movimento uniforme sobre uma circunferência de raio R e centro C. Num instante t a partícula está no ponto A e tem velocidade vetorial [tex3]\vec{v}[/tex3] (fig. 1). Consideremos, em seguida, um instante um instante t1 (com t1> t) no qual a partícula está sobre o ponto A1(diferente de A) com velocidade [tex3]v_1[/tex3] . Como o movimento é uniforme, temos [tex3]|\vec{v}|=|\vec{v_{1}}|[/tex3] .

Façamos [tex3]Δt= t_1- t[/tex3] . A variação da velocidade vetorial ([tex3]Δ\vec{v}[/tex3] ) no intervalo de tempo Δt está representada na figura 2.
O triângulo EFG (fig. 2) é semelhante ao triângulo CAA1 (fig. 3) e assim:

[tex3]\frac{|\Delta \vec{v}|}{|\overline{AA_1}|}=\frac{|\vec{v}|}{R}[/tex3]
1.PNG
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Para um intervalo de tempo “muito pequeno” (isto é, Δt → 0), podemos supor que A1 esteja muito próximo de A e o segmento [tex3]\overline{AA_1}[/tex3] tenha comprimento aproximadamente igual ao comprimento do arco [tex3]\widehat{AA_1}[/tex3]

[tex3]\overline{AA_1}\cong\widehat{AA_1}=|\vec{v}|\Delta t[/tex3]

[tex3]\frac{|\Delta \vec{v}|}{|\vec{v}|\Delta t}\cong\frac{|\vec{v}|}{R}\therefore \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t}\cong\frac{|\vec{v}|^2}{R}[/tex3] (Supondo [tex3]\Delta t[/tex3] "pequeno")

A aceleração vetorial instantânea [tex3]\vec{a}[/tex3] no instante t é dada por:

[tex3]\vec{a}= \lim _{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\therefore \vec{|a|}= \lim _{\Delta t\rightarrow 0}\frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t}=\frac{v^2}{R}[/tex3]

Portanto: [tex3]|\vec{a}|=\frac{|\vec{v}|^2}{R}[/tex3]

Por outro lado, analisando as figuras 1, 2 e 3, percebemos que, à medida que A1 se aproxima de A, o ângulo θ
diminui e [tex3]Δ\vec{v}[/tex3] aproxima-se da direção perpendicular a [tex3]\vec{v}[/tex3], o mesmo ocorrendo com a aceleração vetorial média [tex3]\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}[/tex3]. No limite, a aceleração vetorial instantânea [tex3]\vec{a}[/tex3] é perpendicular a [tex3]\vec{v}[/tex3] e, portanto, tem a direção da reta que passa pelo ponto A e pelo centro da circunferência (fig. 4).

2.PNG
2.PNG (11.53 KiB) Exibido 1927 vezes
Fonte: Física Clássica

A dúvida: Quando o A1 quase encostar no A a variação vetorial da velocidade não vai ser nula? Se[tex3]\Delta \vec{v}=\vec{v_1}-\vec{v}[/tex3], o vetor [tex3]\vec{v_1}[/tex3] não vai ficar paralelo ao vetor[tex3]\vec{v}[/tex3] e os dois não vão se anular? Anulando também a aceleração?




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LucasPinafi
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Abr 2018 18 21:13

Re: Demonstração da aceleração centrípeta para o caso do movimento circular uniforme

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Não, pq A1 e A nunca se encostam. Eles só ficam bem próximos.
Uma forma alternativa de demonstrar esse teorema é dessa maneira (totalmente analítica);
Suponha que a partícula esteja descrevendo um MCU de raio R. Podemos colocar a origem de um sistema xOy no centro da referida circunferência, de modo que a trajetória descrita é [tex3]\vec \gamma = ( R \cos \theta ; R \sen \theta ) [/tex3] .
Assim, a velocidade é:
[tex3]\vec v = \frac{d \vec \gamma } {dt} = ( -R \sen \theta \frac{d\theta}{dt} ; R \cos \theta \frac{d\theta}{dt} ) = \omega(-R \sen \theta ; R \cos \theta) [/tex3]
onde [tex3]\omega = \frac{d\theta}{dt}[/tex3] é a velocidade angular.
A aceleração é
[tex3]\vec a = \frac{d \vec v }{dt} = \omega^2 ( - R \cos \theta ; -R \sen \theta )= -\omega ^2 ( R \cos \theta ; R \sen \theta ) \\ a\vec = -\omega^2 \vec \gamma [/tex3]
Essa última equação nos mostra que [tex3]a[/tex3] deve ser paralelo ao vetor posição da partícula e deve possuir sentido contrário.
Temos ainda que
[tex3]|\vec a | =a=|-\omega ^2 \vec \gamma | = \omega ^2 |\vec \gamma | = \omega ^2 \sqrt{R^2 \cos^2 \theta + R^2 \sen^2 \theta}=\omega^2 R = \frac{v^2}{R} [/tex3]
Portanto, a aceleração centrípeta possui módulo v²/R.



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