Física I ⇒ (URCA) Atrito

[Auto Excluído (ID:20137)]

Uma caixa de massa m encontra­-se apoiado sobre um plano horizontal áspero. O coeficiente de atrito entre o caixote e o plano vale µ e a gravidade local vale g. Se o ângulo [tex3]\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta [/tex3]

; pode ser ajustado convenientemente, o menor valor da força F capaz de mover o caixote ao longo do plano é igual a:

Resposta

---

F=[tex3]\frac{(u.m.g)}{(cos\theta +sen\theta )}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(u.m.g)}{(cos\theta +sen\theta )}[/tex3]

[LucasPinafi]

[tex3]F \cos \theta = F_at = N \mu \ (i) \\ mg = F \sen \theta+ N \Longrightarrow N = mg - F \sen \theta \ (ii) \\ F \cos \theta = mg \mu - F \mu \sen \theta \\ F ( \cos \theta + \mu \sen \theta ) = mg \mu \\ F(\theta) = \frac{mg\mu}{\cos \theta + \mu \sen \theta} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F \cos \theta = F_at = N \mu \ (i) \\ mg = F \sen \theta+ N \Longrightarrow N = mg - F \sen \theta \ (ii) \\ F \cos \theta = mg \mu - F \mu \sen \theta \\ F ( \cos \theta + \mu \sen \theta ) = mg \mu \\ F(\theta) = \frac{mg\mu}{\cos \theta + \mu \sen \theta} [/tex3]

Devemos maximizar o denominador;
[tex3]\cos \theta + \mu \sen \theta = \sqrt{\mu^2+1} \left( \frac{1}{\sqrt{\mu^2+1}} \cos \theta + \frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1} }\sen \theta \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos \theta + \mu \sen \theta = \sqrt{\mu^2+1} \left( \frac{1}{\sqrt{\mu^2+1}} \cos \theta + \frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1} }\sen \theta \right)[/tex3]

Fazendo [tex3]\frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}} = \sen \beta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}} = \sen \beta [/tex3]

[tex3]\therefore \cos \theta + \mu \sen \theta = \sqrt{\mu^2+1}\cos ( \theta - \beta ) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore \cos \theta + \mu \sen \theta = \sqrt{\mu^2+1}\cos ( \theta - \beta ) [/tex3]

Para maximizar, basta tomar [tex3]\theta = \beta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta = \beta[/tex3]

; assim
[tex3]F_{min} = \frac{mg\mu}{\sqrt{\mu^2+1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_{min} = \frac{mg\mu}{\sqrt{\mu^2+1}}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:20137)]

[tex3]F \cos \theta = F_at = N \mu \ (i) \\ mg = F \sen \theta+ N \Longrightarrow N = mg - F \sen \theta \ (ii) \\ F \cos \theta = mg \mu - F \mu \sen \theta \\ F ( \cos \theta + \mu \sen \theta ) = mg \mu \\ F(\theta) = \frac{mg\mu}{\cos \theta + \mu \sen \theta} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F \cos \theta = F_at = N \mu \ (i) \\ mg = F \sen \theta+ N \Longrightarrow N = mg - F \sen \theta \ (ii) \\ F \cos \theta = mg \mu - F \mu \sen \theta \\ F ( \cos \theta + \mu \sen \theta ) = mg \mu \\ F(\theta) = \frac{mg\mu}{\cos \theta + \mu \sen \theta} [/tex3]

Devemos maximizar o denominador;
[tex3]\cos \theta + \mu \sen \theta = \sqrt{\mu^2+1} \left( \frac{1}{\sqrt{\mu^2+1}} \cos \theta + \frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1} }\sen \theta \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos \theta + \mu \sen \theta = \sqrt{\mu^2+1} \left( \frac{1}{\sqrt{\mu^2+1}} \cos \theta + \frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1} }\sen \theta \right)[/tex3]

Fazendo [tex3]\frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}} = \sen \beta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}} = \sen \beta [/tex3]

[tex3]\therefore \cos \theta + \mu \sen \theta = \sqrt{\mu^2+1}\cos ( \theta - \beta ) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore \cos \theta + \mu \sen \theta = \sqrt{\mu^2+1}\cos ( \theta - \beta ) [/tex3]

Para maximizar, basta tomar [tex3]\theta = \beta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta = \beta[/tex3]

; assim
[tex3]F_{min} = \frac{mg\mu}{\sqrt{\mu^2+1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_{min} = \frac{mg\mu}{\sqrt{\mu^2+1}}[/tex3]

Eu não consegui entender a linha do (ii) como tu deduziu aquilo. Se não incomodar poderia fazer um pouco mais passo a passo?