Olá,
Auto Excluído (ID:19677).
A questão é muito interessante. Esse artigo aborda exatamente essa ideia:
https://www.wired.com/2010/08/what-if-everyone-jumped/. Vou colocar a tradução do artigo, para facilitar a pesquisa e a resolução de futuras dúvidas:
O que aconteceria se todo mundo pulasse ao mesmo tempo?
Suponha que todos no mundo se juntassem e pulassem de uma vez. A Terra movimentaria? Sim. Seria algo perceptível? Vamos calcular.
SUPOSIÇÕES INICIAIS
- 7 bilhões de pessoas;
- Peso médio: 50 kg (bem, você sabe, crianças e outras coisas);
- Altura média de um pulo (a partir do centro de massa): 0,3 metros - e acho que estou sendo generoso;
- Massa da Terra: [tex3]6 \cdot 10^{24} \text{ kg};[/tex3]
- Campo gravitacional próximo à superfície terrestre é constante e possui valor próximo de [tex3]9,8 \text{ N/kg};[/tex3]
- Ignore a interação com o Sol e com a Lua.
FÍSICA BÁSICA
Suponha que eu assuma a Terra e as pessoas como meu sistema. Nesse caso, não há, essencialmente, forças externas no sistema. Haverá duas grandezas conservadas - impulso e energia. Aqui, o termo "conservado" significa que essa grandeza não muda. Eu posso escrever:
[tex3]\mathrm{
\vec Q_{total, 1} = \vec Q_{total,2}
}[/tex3]
O que é "1" e "2"? Podem ser qualquer dois tempos distintos. Para a situação analisada, posso tomar que o tempo 1 é logo após as pessoas pularem (e ainda se moverem para cima) e o tempo 2 é quando as pessoas estão no ponto mais alto da trajetória. A energia também é conservada. Se eu pegar as pessoas somadas a Terra como sistema, então eu posso ter energia cinética (K) e energia potencial gravitacional (PG). Usando o 1 para representar as pessoas apenas pulando e 2 para representá-las em seu ponto mais alto, ficamos com:
[tex3]\mathrm{
E_K^{total,1} + E_{PG}^{1} = E_{K}^{total,2} + E_{PG}^{2} \\
E_K^{Terra,1} +E_K^{Pessoas,1}+ E_{PG}^{1} = E_K^{Terra,2} +E_K^{Pessoas,2} + E_{PG}^{2}
}[/tex3]
Sobre a energia potencial gravitacional. Primeiro, é a energia potencial do sistema, e não de cada objeto. Em segundo lugar, nesta forma linear aproximada [tex3](\text E_{\text{PG}}= \text m ~\text g ~\Delta\text h),[/tex3]
é a mudança que realmente importa. Isso significa que eu posso definir o potencial no ponto 1 como [tex3]0~\text J.[/tex3]
Além disso, a massa da Terra importa nesse potencial - é daí que vem o [tex3]9,8 \text{ N/kg}.[/tex3]
O CÁLCULO
Algumas coisas importantes para começar os cálculos. Na posição (e no tempo) número 1, a Terra e as pessoas estão se movendo, mas não há energia potencial gravitacional. Na posição 2, a Terra e as pessoas estão a 0,3 metros de distância e não se movem (no ponto mais alto). Por último, o momento linear (quantidade de movimento) é uma grandeza vetorial - mas este é um problema unidimensional. Vou deixar a direção [tex3]y[/tex3]
ser a direção que as pessoas pulam. Isso dá uma equação de conservação de impulso relacionada por:
[tex3]\mathrm{
|\vec Q|_{Terra} =|\vec Q|_{Pessoas} \implies m_{Terra} \cdot v_{Terra} = -m_{Pessoas} \cdot v_{Pessoas,1} \\
\\{} \\
\therefore v_{Terra}= \frac{-m_{Pessoas} \cdot v_{Pessoas,1}}{m_{Terra}}}[/tex3]
Agora, eu posso usar a equação de energia para obter uma expressão para a velocidade inicial das pessoas:
[tex3]\mathrm{
\frac{m_{Terra} \cdot v_{Terra,1}^2}{2}+ \frac{m_{Pessoas} \cdot v_{Pessoas,1}^2}{2} = m_{Pessoas}~g~\Delta h
\\{} \\
\therefore v_{Pessoas,1}= \sqrt{2g \Delta h-\frac{m_{Terra} \cdot v_{Terra,1}^2}{m_{Pessoas}}}}[/tex3]
Apenas uma rápida verificação com a realidade. Se você quiser saltar uma altura h, você precisaria de uma velocidade de:
[tex3]\mathrm{
v_{}= \sqrt{2g \Delta h}}[/tex3]
Isso é o que você obtém se assumir que a velocidade da Terra é bem pequena. Ok, agora vou colocar as duas equações (conservação da quantidade de movimento e a energia) juntas. Vai ficar feio, mas não é tão feio assim. O problema é que a velocidade das pessoas, pelo método trabalho-energia, ainda possui a velocidade da Terra. Afaste seus olhos se você é alérgico à álgebra:
[tex3]\mathrm{
v_{Pessoas,1}^2= 2g \Delta h-\frac{m_{Terra} \cdot v_{Terra,1}^2}{m_{Pessoas}}, \, v_{Terra}= \frac{-m_{Pessoas} \cdot v_{Pessoas,1}}{m_{Terra}}
\\{} \\
v_{Terra}^2= \frac{-m_{Pessoas}^2 \cdot v_{Pessoas,1}^2}{m_{Terra}^2}
\\{} \\
v_{Terra}^2= \frac{2g\Delta h~m_{Pessoas}^2 }{m_{Terra}^2}-\frac{m_{Pessoas} \cdot v_{Terra}^2}{m_{Terra}}
}
[/tex3]
Ainda não terminei- preciso resolver agora para a velocidade da Terra:
[tex3]\mathrm{
v_{Terra}^2 \(1 + \frac{m_{Pessoas}}{m_{Terra}} \) = \frac{2g\Delta h~m_{Pessoas}^2 }{m_{Terra}^2}
\\{} \\
v_{Terra} = \sqrt{ \frac{2g\Delta h~m_{Pessoas}^2 }{\(1 + \frac{m_{Pessoas}}{m_{Terra}} \) m_{Terra}^2}}
\\{} \\
v_{Terra} = \sqrt{ \frac{2g\Delta h~m_{Pessoas}^2 }{m_{Terra}^2+ m_{Pessoas}\cdot m_{Terra}}}
}
[/tex3]
Veja, isso não foi tão ruim. Você pode abrir os olhos agora. Agora, os números. Substituindo os valores numéricos, vem que a velocidade de recuo da Terra é dada por:
[tex3]\mathrm{
v_{Terra} = 2,6 \cdot 10^{-13}~m/s
}
[/tex3]
Talvez você não goste dos meus valores iniciais. Mas, sabe de uma coisa? Não importa, a massa da Terra é tão grande que será muito difícil obter uma velocidade detectável. Além disso, há toda a questão de colocar todos no mesmo lugar ao mesmo tempo e fazê-los pular ao mesmo tempo.
