Física I ⇒ Dinâmica - Movimento Circular

[leomaxwell]

Uma moeda descreve movimento circular e uniforme com velocidade angular [tex3]\omega[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega[/tex3]

encostada na parede interna de um recipiente em forma de tronco de cone, com eixo vertical. A trajetória descrita pelo objeto tem raio [tex3]\ R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ R[/tex3]

e está contida num plano horizontal. As paredes do recipiente formam um ângulo [tex3]\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta[/tex3]

com uma superfície horizontal de apoio e, no local, a influência do ar é desprezível e a intensidade da aceleração da gravidade é igual a [tex3]\ g[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ g[/tex3]

.

Screenshot_143.png (20.14 KiB) Exibido 1577 vezes

Sendo [tex3]\mu[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mu[/tex3]

o coeficiente de atrito dinâmico entre a moeda e a parede interna do recipiente, pede-se determinar o mínimo valor de [tex3]\omega[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega[/tex3]

para a moeda não escorregar.

Resposta

---

[tex3]\omega =\sqrt{\frac{g(sen\theta-\mu cos\theta)}{R(cos\theta+\mu sen\theta)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega =\sqrt{\frac{g(sen\theta-\mu cos\theta)}{R(cos\theta+\mu sen\theta)}}[/tex3]

[LucasPinafi]

Eae man, to meio sem tempo para fazer a figura agora, mas pelo menos te dou uma ideia;
passando para o referencial acelerado da moeda, temos que incluir uma aceleração [tex3]m \omega ^2 R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m \omega ^2 R[/tex3]

para fora do círculo. Como queremos o valor mínimo de [tex3]\omega[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega[/tex3]

, segue que a bolinha estará quase descendo, de modo que uma força de atrito deve ser apontada plano acima. Portanto, para o equilíbrio nessa situação:
[tex3]\begin{cases} N \sen \theta = m \omega^2 R + f \cos \theta \\ N \cos \theta + f \sen \theta = mg\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases} N \sen \theta = m \omega^2 R + f \cos \theta \\ N \cos \theta + f \sen \theta = mg\end{cases}[/tex3]

Mas, [tex3]f = N \mu[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f = N \mu[/tex3]

, de modo que, temos:
[tex3]N \sen \theta - N \mu \cos \theta = m\omega ^2 R \therefore N(\sen \theta - \mu \cos \theta ) = m\omega ^2 R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N \sen \theta - N \mu \cos \theta = m\omega ^2 R \therefore N(\sen \theta - \mu \cos \theta ) = m\omega ^2 R[/tex3]

(i)
[tex3]N(\cos \theta + \mu \sen \theta ) = mg[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N(\cos \theta + \mu \sen \theta ) = mg[/tex3]

(ii)
Dividindo (i)/(ii), teremos:
[tex3]\omega ^2 R=g \frac{ \sen \theta - \mu \cos \theta }{\cos \theta + \mu \sen \theta} \therefore \omega _{\text{min}} = \sqrt{\frac{g(\sen \theta - \mu \cos \theta )}{R(\cos \theta + \mu \sen \theta)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega ^2 R=g \frac{ \sen \theta - \mu \cos \theta }{\cos \theta + \mu \sen \theta} \therefore \omega _{\text{min}} = \sqrt{\frac{g(\sen \theta - \mu \cos \theta )}{R(\cos \theta + \mu \sen \theta)}}[/tex3]

Obs.: Tente pensar em um método simples, a partir da resposta acima, de obter o valor máximo de omega.

[jrneliodias]

Olá, pessoal.

Podemos fazer essa questão também usando a definição de da força de contato [tex3]\vec{C}=\vec{F}_{at}+\vec{N}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{C}=\vec{F}_{at}+\vec{N}[/tex3]

e o ângulo entre [tex3]\vec{C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{C}[/tex3]

e [tex3]\vec{N}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{N}[/tex3]

é [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

de tal forma que [tex3]\tan \alpha = \mu[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tan \alpha = \mu[/tex3]

Também devemos saber que no [tex3]\omega_{min}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega_{min}[/tex3]

ocorre quando o fat está direcionado para cima. Então temos

Capturar.PNG (16.64 KiB) Exibido 1560 vezes

Dessa forma,

[tex3]\tan(\alpha -\theta)= \frac{m\omega^2 R}{mg}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tan(\alpha -\theta)= \frac{m\omega^2 R}{mg}[/tex3]

[tex3]\frac{\tan \theta-\tan \alpha }{1-\tan \alpha \tan \theta }= \frac{\omega^2 R}{g}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\tan \theta-\tan \alpha }{1-\tan \alpha \tan \theta }= \frac{\omega^2 R}{g}[/tex3]

[tex3]\frac{\tan \theta-\mu }{1-\mu \tan \theta }= \frac{\omega^2 R}{g}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\tan \theta-\mu }{1-\mu \tan \theta }= \frac{\omega^2 R}{g}[/tex3]

Abrindo a tangente em seno e cosseno temos


[tex3]\omega =\sqrt{\frac{g(\sen \theta-\mu\cos \theta ) }{R(\sen \theta -\mu \cos \theta) }}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega =\sqrt{\frac{g(\sen \theta-\mu\cos \theta ) }{R(\sen \theta -\mu \cos \theta) }}[/tex3]

Espero ter ajudado. Abraço.

[leomaxwell]

Olá, LucasPinafi, não estou conseguindo entender como fica o desenho das forças e a decomposição delas

[luavelar]

Também não estou conseguindo entender o desenho da decomposição das forças através da resolução do Pifani, alguém poderia me ajudar ?