Física IDinâmica - polias + plano inclinado + variação de θ

Mecânica: Estática e Dinâmica

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leomaxwell
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Set 2017 20 09:03

Dinâmica - polias + plano inclinado + variação de θ

Mensagem não lida por leomaxwell »

Considere a situação esquematizada a seguir em que uma estrutura em forma de L está articulada em O, podendo girar em torno desse ponto em um plano vertical. Dessa forma, o ângulo θ, formado entre a parte esquerda da estrutura e uma mesa horizontal, pode ser variado entre 0° e 90°. São utilizadas duas polias ideais, fixas nas extremidades do L, e um fio leve, flexível e inextensível para conectar dois pequenos blocos A e B de massas iguais, de valor m = 2,0 kg, cada uma. Os atritos são desprezíveis, bem como a influência do ar, e, no local, adota-se |g| = 10,0 m/s²
Screenshot_103.png
Screenshot_103.png (21.33 KiB) Exibido 868 vezes
a) Obtenha, em função de g e θ, uma expressão matemática para o valor algébrico da aceleração dos blocos e determine os valores de θ para que essa aceleração tenha intensidade máxima.
b) Calcule, em cada caso, a intensidade da força de tração no fio.
c) Para que valor de θ os blocos permanecem em equilíbrio?



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LucasPinafi
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Set 2017 20 12:10

Re: Dinâmica - polias + plano inclinado + variação de θ

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Seja [tex3]\theta + \alpha + 90^{\circ} = 180^{\circ} \therefore \alpha = 90^{\circ} - \theta [/tex3]
Equações do movimento:
I- [tex3]m_B g \sen \alpha -T = m_B a [/tex3]
II- [tex3]T - m_A g \sen \theta = m_A a [/tex3]
os fatos das acelerações serem iguais decorre do fato do fio ser inextensível. Também, como [tex3]\sen \alpha = \cos \theta [/tex3] , e somando I e II:
[tex3]m_B g \cos \theta - m_A g \sen \theta = a(m_A + m_B ) \therefore a = \frac{m_B \cos \theta - m_A \sen \theta }{m_A + m_B }[/tex3]
De [tex3]m_A = m_B = 2 \text{ kg} [/tex3] , segue que:
[tex3]a = \frac{g}{2} (\cos \theta - \sen \alpha ) = \frac{g}{2} \sqrt 2 \left( \cos 45^{\circ} \cos \theta - \sen 45^{\circ} \sen \theta \right)
= \frac{g}{2} \sqrt 2 \cos (\theta + 45^{\circ}) [/tex3]
[tex3]a_{\text {max}} = \frac g 2 [/tex3] obtido para [tex3]\theta = 0^{\circ} [/tex3]



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Killin
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Set 2017 20 13:52

Re: Dinâmica - polias + plano inclinado + variação de θ

Mensagem não lida por Killin »

Só complementando:

Na figura representei [tex3]\theta [/tex3] por t, e [tex3]\alpha [/tex3] por a.

a) Perceba que por semelhança deu pra achar [tex3]\theta [/tex3] na decomposição vetorial do peso dos blocos fazendo uso da ideia que [tex3]\alpha +\theta+90°=180°[/tex3] .

Equações do movimento em função de [tex3]\theta [/tex3] e supondo que o bloco B desce e A sobe (isso é arbitrário e não interfere no valores de [tex3]\theta [/tex3] para que a aceleração seja máxima):

[tex3]\begin{cases}m_B g \cos\theta - T=m_B a \\ T- m_A \sen \theta g =m_A a \end{cases} \therefore a=\frac{g\(m_B \cos \theta - m_A \sen \theta\)}{m_A+m_b} \rightarrow \boxed {a=\frac{g}{2}\(\cos \theta- \sen \theta\)}[/tex3] . Perceba, aqui, que a aceleração será máxima quando [tex3]\cos \theta -
\sen \theta= \pm1 [/tex3] , porque nos dois casos o módulo da aceleração será o mesmo, sendo negativa e máxima quando for contra o movimento que adotamos. Logo, [tex3]\boxed {\theta =0°\vee 90°}[/tex3] .

Deixo a b) e a c) pra você.
Anexos
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Marselo
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Re: Dinâmica - polias + plano inclinado + variação de θ

Mensagem não lida por Marselo »

Eu encontrei a=g(senx - cosx)/2, pois considerei que o bloco A que iria descer. Isso está correto?




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