Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Física I ⇒ OBF - Mecânica Tópico resolvido
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Set 2017
04
17:06
OBF - Mecânica
Considere um plano inclinado (uma cunha) de massa [tex3]M[/tex3]
deslizar sem atrito sobre o chão. Um pequeno bloco de massa [tex3]m[/tex3] também pode deslizar sem atrito sobre a
superfície do plano inclinado. Além disso, o bloco está preso por uma corda, que passa por uma polia no
vértice superior da cunha, e que está amarrada a uma parede, conforme ilustra a seguinte figura.
O trecho de corda entre a polia e a parede é horizontal.
O bloco é então solto, a partir do repouso, de uma altura [tex3]h[/tex3] em relação ao solo. Calcule a velocidade da cunha
quando o bloco chegar ao chão em função de [tex3]m, ~M, ~h,~\theta[/tex3] e [tex3]g[/tex3] (a gravidade local).
e ângulo de inclinação [tex3]\theta[/tex3]
que podedeslizar sem atrito sobre o chão. Um pequeno bloco de massa [tex3]m[/tex3] também pode deslizar sem atrito sobre a
superfície do plano inclinado. Além disso, o bloco está preso por uma corda, que passa por uma polia no
vértice superior da cunha, e que está amarrada a uma parede, conforme ilustra a seguinte figura.
O trecho de corda entre a polia e a parede é horizontal.
O bloco é então solto, a partir do repouso, de uma altura [tex3]h[/tex3] em relação ao solo. Calcule a velocidade da cunha
quando o bloco chegar ao chão em função de [tex3]m, ~M, ~h,~\theta[/tex3] e [tex3]g[/tex3] (a gravidade local).
Editado pela última vez por Andre13000 em 04 Set 2017, 17:54, em um total de 3 vezes.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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Set 2017
04
17:21
Re: OBF - Mecânica
Certo... E a pergunta?
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Set 2017
04
17:52
Re: OBF - Mecânica
kkkkkkk mal ai. Já arrumei
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Set 2017
04
18:30
Re: OBF - Mecânica
Indo pro referencial não inercial da cunha, teremos um campo gravitacional fictício de valor [tex3]a[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
mgcos(\theta)=N+masen(\theta) \rightarrow Nsen(\theta)=mgsen(\theta)cos(\theta)-masen^2(\theta) \\
macos(\theta)+mgsen(\theta)-T=ma' \\
\end{cases}[/tex3]
Para a cunha, ela está em equilíbrio no seu próprio referencial.
[tex3]\begin{cases}
Nsen(\theta)+T=Tcos(\theta)+Ma \\
\end{cases} \rightarrow Nsen(\theta)=Ma-T(1-cos(\theta))[/tex3]
Temos um vínculo geométrico: no ref da cunha, a parede está acelerada para direita, então vai sobrando corda numa aceleração a. Se sobra corda numa aceleração a, temos que a própria aceleração do bloquinho na cunha, na direção do plano, será a também. Portanto, [tex3]a=a'[/tex3]
Substituindo tudo nessa última equação:
[tex3]mgsen(\theta)cos(\theta)-masen^2(\theta)=Ma+(ma-macos\theta-mgsen\theta)(1-cos\theta)[/tex3]
[tex3]mgsen\theta cos\theta -masen^2\theta = Ma+ma-macos\theta-macos\theta+macos^2\theta-mgsen\theta+mgsen\theta cos\theta[/tex3]
[tex3]-masen^2\theta = Ma+ma-2macos\theta+macos^2\theta-mgsen\theta[/tex3]
[tex3]mgsen\theta = Ma+2ma-2macos\theta[/tex3]
[tex3]a=\frac{mgsen\theta}{M+2m(1-cos\theta)}[/tex3]
Então o tempo para o bloco descer a cunha:
[tex3]\frac{h}{sen\theta}=\frac{a}{2}t^2 \rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{asen\theta}}[/tex3]
A velocidade da cunha:
[tex3]v=at=a\sqrt{\frac{2h}{asen\theta}}=\sqrt{\frac{2ah}{sen\theta}}[/tex3]
[tex3]\therefore v=\sqrt{\frac{2mgh}{M+2m(1-cos\theta)}}[/tex3]
Se não errei nada, é isso.
para direita.
Neste referencial, o bloco desliza na direção do plano inclinado.[tex3]\begin{cases}
mgcos(\theta)=N+masen(\theta) \rightarrow Nsen(\theta)=mgsen(\theta)cos(\theta)-masen^2(\theta) \\
macos(\theta)+mgsen(\theta)-T=ma' \\
\end{cases}[/tex3]
Para a cunha, ela está em equilíbrio no seu próprio referencial.
[tex3]\begin{cases}
Nsen(\theta)+T=Tcos(\theta)+Ma \\
\end{cases} \rightarrow Nsen(\theta)=Ma-T(1-cos(\theta))[/tex3]
Temos um vínculo geométrico: no ref da cunha, a parede está acelerada para direita, então vai sobrando corda numa aceleração a. Se sobra corda numa aceleração a, temos que a própria aceleração do bloquinho na cunha, na direção do plano, será a também. Portanto, [tex3]a=a'[/tex3]
Substituindo tudo nessa última equação:
[tex3]mgsen(\theta)cos(\theta)-masen^2(\theta)=Ma+(ma-macos\theta-mgsen\theta)(1-cos\theta)[/tex3]
[tex3]mgsen\theta cos\theta -masen^2\theta = Ma+ma-macos\theta-macos\theta+macos^2\theta-mgsen\theta+mgsen\theta cos\theta[/tex3]
[tex3]-masen^2\theta = Ma+ma-2macos\theta+macos^2\theta-mgsen\theta[/tex3]
[tex3]mgsen\theta = Ma+2ma-2macos\theta[/tex3]
[tex3]a=\frac{mgsen\theta}{M+2m(1-cos\theta)}[/tex3]
Então o tempo para o bloco descer a cunha:
[tex3]\frac{h}{sen\theta}=\frac{a}{2}t^2 \rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{asen\theta}}[/tex3]
A velocidade da cunha:
[tex3]v=at=a\sqrt{\frac{2h}{asen\theta}}=\sqrt{\frac{2ah}{sen\theta}}[/tex3]
[tex3]\therefore v=\sqrt{\frac{2mgh}{M+2m(1-cos\theta)}}[/tex3]
Se não errei nada, é isso.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Set 2017
05
18:16
Re: OBF - Mecânica
Encontrei outro jeito de resolver. Não entendi esse campo gravitacional fictício...
Se a rampa se move [tex3]ds[/tex3] para a esquerda, então um pedaço [tex3]ds[/tex3] do fio da polia à esquerda da rampa é subtraído de tal forma que (como o fio é ideal) o bloco, no referencial da rampa, se move [tex3]dx'[/tex3] para a direita, e [tex3]dy'[/tex3] para baixo, respeitando esta relação:
[tex3]ds^2=dx'^2+dy'^2\\
dx'=ds\cos\theta\\
dy'=ds\sen\theta\\[/tex3]
Mas como na verdade a rampa se move uma distância [tex3]ds [/tex3] para a esquerda, então no referencial do piso:
[tex3]dx=ds-dx'=ds(1-\cos\theta)\\
dy=dy'=ds\sen\theta\\
\ddot x=\ddot s(1-\cos\theta)\\
\ddot y=\ddot s\sen\theta[/tex3]
E pelas forças ali na figura do Undefinied, dispensando força do campo gravitacional fictício:
[tex3]m\ddot{x}=T\cos\theta-F_n\sen\theta~~(i)\\
m\ddot{y}=mg-T\sen\theta-F_n\cos\theta~~(ii)\\
M\ddot s=T+F_n\sen\theta-T\cos\theta~~(iii)[/tex3]
Agora facilmente resolve-se para s da seguinte forma:
[tex3](i)+(iii)=M\ddot s+m\ddot x=T\\
(ii)\cdot \sen\theta-(i)\cdot \cos\theta=m\ddot y\sen\theta-m\ddot x\cos\theta=mg\sen\theta-T[/tex3]
O resto é imediato, dá o mesmo resultado.
Se a rampa se move [tex3]ds[/tex3] para a esquerda, então um pedaço [tex3]ds[/tex3] do fio da polia à esquerda da rampa é subtraído de tal forma que (como o fio é ideal) o bloco, no referencial da rampa, se move [tex3]dx'[/tex3] para a direita, e [tex3]dy'[/tex3] para baixo, respeitando esta relação:
[tex3]ds^2=dx'^2+dy'^2\\
dx'=ds\cos\theta\\
dy'=ds\sen\theta\\[/tex3]
Mas como na verdade a rampa se move uma distância [tex3]ds [/tex3] para a esquerda, então no referencial do piso:
[tex3]dx=ds-dx'=ds(1-\cos\theta)\\
dy=dy'=ds\sen\theta\\
\ddot x=\ddot s(1-\cos\theta)\\
\ddot y=\ddot s\sen\theta[/tex3]
E pelas forças ali na figura do Undefinied, dispensando força do campo gravitacional fictício:
[tex3]m\ddot{x}=T\cos\theta-F_n\sen\theta~~(i)\\
m\ddot{y}=mg-T\sen\theta-F_n\cos\theta~~(ii)\\
M\ddot s=T+F_n\sen\theta-T\cos\theta~~(iii)[/tex3]
Agora facilmente resolve-se para s da seguinte forma:
[tex3](i)+(iii)=M\ddot s+m\ddot x=T\\
(ii)\cdot \sen\theta-(i)\cdot \cos\theta=m\ddot y\sen\theta-m\ddot x\cos\theta=mg\sen\theta-T[/tex3]
O resto é imediato, dá o mesmo resultado.
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Set 2017
05
18:21
Re: OBF - Mecânica
Sim, essa é apenas uma resolução pelo referencial inercial. Eu utilizei o não inercial, porque não precisa fazer tantas substituições nas equações e o vínculo geométrico fica mais fácil de enxergar.
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Set 2017
05
18:32
Re: OBF - Mecânica
É, achei a sua solução mais sucinta.
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