Física I ⇒ (Ita 2005) Centro de posição de um sistema

[Liliana]

Dois corpos esféricos de massa M e 5M e raios R e 2R, respectivamente, são liberados no espaço livre. Considerando que a única força interveniente seja a da atração gravitacional mútua, e que seja de 12R a distância de separação inicial entre os centros dos corpos, então, o espaço percorrido pelo corpo menos até a colisão é de:

a)1,5R
b)2,5R
c)4,5R
d)7,5R
e)10R

Alguém pode me explicar o raciocínio, fazendo um favor??

[LucasPinafi]

É um problema de compensação. A única força atuante no sistema é a gravitacional - que satisfazem a 3° Lei de Newton. Assim, são forças internas ao sistema, que é incapaz de mudar a quantidade de movimento total do sistema. Então, devemos ter que;
[tex3]MD_1 = (5M) D_2 \therefore D_1 = 5D_2[/tex3]

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[tex3]MD_1 = (5M) D_2 \therefore D_1 = 5D_2[/tex3]

[tex3]D_1 + D_2 = 12R - (R+2R) = 9 R \therefore D_1 + \frac {D_1} 5 = 9 R \therefore \frac{6D_1} 5 = 9R \therefore D_1 = 7,5 R[/tex3]

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[tex3]D_1 + D_2 = 12R - (R+2R) = 9 R \therefore D_1 + \frac {D_1} 5 = 9 R \therefore \frac{6D_1} 5 = 9R \therefore D_1 = 7,5 R[/tex3]

[Liliana]

Mas de onde você tirou a fórmula massa*distância??

[LucasPinafi]

Centro de massa:
[tex3]x = \frac{x_1 m_1 + x_2 m_2}{m_1 + m_2}[/tex3]

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[tex3]x = \frac{x_1 m_1 + x_2 m_2}{m_1 + m_2}[/tex3]

[tex3]x '= \frac{x_1 'm_1 + x_2 ' m_2}{m_1 + m_2}[/tex3]

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[tex3]x '= \frac{x_1 'm_1 + x_2 ' m_2}{m_1 + m_2}[/tex3]

onde [tex3]x_1[/tex3]

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[tex3]x_1[/tex3]

representa a posição da partícula 1 em um instante inicial e [tex3]x_1 ' [/tex3]

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[tex3]x_1 ' [/tex3]

em um instante posterior. Para o caso em que o centro de massa não se move, devemos ter [tex3]x =x ' \therefore x_1 m_1 + x_2 m_2 = x_1' m_1 + x_2 m_2 \therefore m_1(x_1 - x_1') =m_2 (x_2' -
x_2) [/tex3]

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[tex3]x =x ' \therefore x_1 m_1 + x_2 m_2 = x_1' m_1 + x_2 m_2 \therefore m_1(x_1 - x_1') =m_2 (x_2' -
x_2) [/tex3]

onde [tex3]|x_i - x_i'| =D_i[/tex3]

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[tex3]|x_i - x_i'| =D_i[/tex3]

representa o módulo da distância percorrida. Assim, [tex3]m_1 D_1 = m_2 D_2 [/tex3]

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[tex3]m_1 D_1 = m_2 D_2 [/tex3]

.
Generalização: [tex3]M_i D_i = M_j D_j[/tex3]

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[tex3]M_i D_i = M_j D_j[/tex3]

onde as partículas i se movem para a esquerda e as j para a direita.

[Liliana]

Entendi!! Obrigada