Física I ⇒ Velocidade média

[MariaAMORIM]

Não sei como prosseguir nessa demonstração...
Desde já, obrigada.

Um veículo percorre um terço de um trajeto com velocidade v_1, outro um terço do trajeto com velocidade v_2 e o terço restante com velocidade v_3. Prove que a velocidade escalar média no trajeto inteiro é dada pela seguinte média harmônica:

[tex3]v_m=\frac{3v_1v_2v_3}{v_1v_2+v_2v_3+v_3v_1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v_m=\frac{3v_1v_2v_3}{v_1v_2+v_2v_3+v_3v_1}[/tex3]

[Bira]

Olá, para resolver essa demonstração deveríamos fazer que:
[tex3]v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{\Delta S}{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{\Delta S}{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3}[/tex3]

.

Veja que os [tex3]\Delta t_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta t_n[/tex3]

para cada n etapa, podem ser vistos como sendo: [tex3]\Delta t_n=\frac{\Delta s_n}{\Delta v_n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta t_n=\frac{\Delta s_n}{\Delta v_n}[/tex3]

Substituindo ficamos com:
[tex3]v_m=\frac{\Delta S}{\frac{\Delta s_1}{v_1}+\frac{\Delta s_2}{v_2}+\frac{\Delta s_3}{v_3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v_m=\frac{\Delta S}{\frac{\Delta s_1}{v_1}+\frac{\Delta s_2}{v_2}+\frac{\Delta s_3}{v_3}}[/tex3]

, em que cada [tex3]\Delta s_n=\frac{\Delta S}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta s_n=\frac{\Delta S}{3}[/tex3]

Substituindo novamente:
[tex3]v_m=\frac{\Delta S}{\frac{\Delta S}{3v_1}+\frac{\Delta S}{3v_2}+\frac{\Delta S}{3v_3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v_m=\frac{\Delta S}{\frac{\Delta S}{3v_1}+\frac{\Delta S}{3v_2}+\frac{\Delta S}{3v_3}}[/tex3]

Desenvolvendo o divisor ficamos com:
[tex3]\frac{\Delta S}{3v_1}+\frac{\Delta S}{3v_2}+\frac{\Delta S}{3v_3}=\frac{\Delta S*[(v_2*v_3)+(v_1*v_3)+v_1*v_2)]}{3*v_1*v_2*v_3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\Delta S}{3v_1}+\frac{\Delta S}{3v_2}+\frac{\Delta S}{3v_3}=\frac{\Delta S*[(v_2*v_3)+(v_1*v_3)+v_1*v_2)]}{3*v_1*v_2*v_3}[/tex3]

Substituindo novamente:
[tex3]v_m=\frac{\Delta S}{\frac{\Delta S*[(v_2*v_3)+(v_1*v_3)+(v_1*v_2)]}{3*v_1*v_2*v_3}}=\frac{3*v_1*v_2*v_3}{v_2*v_3+v_1*v_3+v_1*v_2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v_m=\frac{\Delta S}{\frac{\Delta S*[(v_2*v_3)+(v_1*v_3)+(v_1*v_2)]}{3*v_1*v_2*v_3}}=\frac{3*v_1*v_2*v_3}{v_2*v_3+v_1*v_3+v_1*v_2}[/tex3]