Física I ⇒ Velocidade, posição e aceleração

[mateusworks]

Uma partı́cula move-se de acordo com as seguintes equações paramétricas:

[tex3]\rho = \rho_0(1 - e^{-2t})\ \textrm{e } \theta = \theta_0 + \omega t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rho = \rho_0(1 - e^{-2t})\ \textrm{e } \theta = \theta_0 + \omega t[/tex3]

Onde [tex3]\rho_0[/tex3]

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[tex3]\rho_0[/tex3]

, [tex3]\theta_0[/tex3]

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[tex3]\theta_0[/tex3]

, [tex3]\omega[/tex3]

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[tex3]\omega[/tex3]

são constantes e [tex3]t[/tex3]

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[tex3]t[/tex3]

é o tempo. Obtenha as equações para a posição, a velocidade e a aceleração, em qualquer sistema de coordenadas.

Eu sei fazer o cálculo direto em coordenadas polares para a posição, velocidade e aceleração, só que uma sugestão seria pegar as equações paramétricas em coordenadas polares e voltar pra coordenadas cartesianas pra depois fazer as derivações e achar as equações para posição, velocidade e aceleração. Sei que em coordenadas polares, temos:

[tex3]x = \rho \cos \theta[/tex3]

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[tex3]x = \rho \cos \theta[/tex3]

e [tex3]y= \rho \sin \theta[/tex3]

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[tex3]y= \rho \sin \theta[/tex3]

. O ângulo também pode ser dado por [tex3]\theta = \arctan \left(\frac{y}{x}\right)[/tex3]

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[tex3]\theta = \arctan \left(\frac{y}{x}\right)[/tex3]

. Queria saber como ficava as equações em coordenadas cartesianas fazendo as substituições devidas. Desde já agradeço. Obrigado!

[Andre13000]

[tex3]y=\rho\sen\theta\\
x=\rho\cos\theta\\
\theta = \theta_0 + \omega t\\
\sen\theta=\sen(\theta_0+\omega t)\\
\cos\theta=\cos(\theta_0+\omega t)\\
\rho = \rho_0(1 - e^{-2t})\\
y=\rho_0(1 - e^{-2t})\sen\theta\\
x=\rho_0(1 - e^{-2t})\cos\theta\\
x^2+y^2=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\[/tex3]

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[tex3]y=\rho\sen\theta\\
x=\rho\cos\theta\\
\theta = \theta_0 + \omega t\\
\sen\theta=\sen(\theta_0+\omega t)\\
\cos\theta=\cos(\theta_0+\omega t)\\
\rho = \rho_0(1 - e^{-2t})\\
y=\rho_0(1 - e^{-2t})\sen\theta\\
x=\rho_0(1 - e^{-2t})\cos\theta\\
x^2+y^2=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\[/tex3]

Agora o problema é que você tem três variáveis, mas com uma derivação parcial, o problema está resolvido. Depois é só fazer pitágoras e cabou.

[mateusworks]

Olá, André, muito obrigado! Nesse caso para:

[tex3]x^2+y^2=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\[/tex3]

[tex3]x =\sqrt{\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2 - y^2}\\[/tex3]

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[tex3]x =\sqrt{\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2 - y^2}\\[/tex3]

Já teríamos a equação para a posição? Agora eu só preciso isolar o [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

da forma que fiz acima e aproveitar as relações para achar a velocidade e a aceleração:

[tex3]v = \dfrac{dx}{dt} \\

a = \dfrac{d^2x}{dt^2}[/tex3]

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[tex3]v = \dfrac{dx}{dt} \\

a = \dfrac{d^2x}{dt^2}[/tex3]

Se eu estiver errado por favor me corrija. Obrigado!

[Andre13000]

Com três variáveis não dá pra fazer isso.

Observe:

[tex3]\arctan\frac{y}{x}=\theta\\
\theta=\theta_0+\omega t\\
\arctan\frac{y}{x}=\theta_0+\omega t\\
y=x\tan(\theta_0+\omega t)\\
x^2+y^2=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\
x^2+x^2\tan^2(\theta_0+\omega t)=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\
x^2(1+\tan^2(\theta_0+\omega t))=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\
x^2\sec^2(\theta_0+\omega t)=p_0^2(1-e^{-2t})^2\\
x\sec(\theta_0+\omega t)=p_0(1-e^{-2t})\\[/tex3]

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[tex3]\arctan\frac{y}{x}=\theta\\
\theta=\theta_0+\omega t\\
\arctan\frac{y}{x}=\theta_0+\omega t\\
y=x\tan(\theta_0+\omega t)\\
x^2+y^2=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\
x^2+x^2\tan^2(\theta_0+\omega t)=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\
x^2(1+\tan^2(\theta_0+\omega t))=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\
x^2\sec^2(\theta_0+\omega t)=p_0^2(1-e^{-2t})^2\\
x\sec(\theta_0+\omega t)=p_0(1-e^{-2t})\\[/tex3]

De maneira similar:

[tex3]\frac{y}{x}=\tan(\theta_0+\omega t)\\
x=y\cotg(\theta_0+\omega t)\\
x^2+y^2=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\
y^2+y^2\cotg^2(\theta_0+\omega t)=\rho_0^2(1-e^{-2t})^2\\
y^2\cossec^2(\theta_0+\omega t)=\rho_0^2(1-e^{-2t})^2\\
y\cossec(\theta_0+\omega t)=\rho(1-e^{-2t})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{y}{x}=\tan(\theta_0+\omega t)\\
x=y\cotg(\theta_0+\omega t)\\
x^2+y^2=\rho_0^2(1 - e^{-2t})^2\\
y^2+y^2\cotg^2(\theta_0+\omega t)=\rho_0^2(1-e^{-2t})^2\\
y^2\cossec^2(\theta_0+\omega t)=\rho_0^2(1-e^{-2t})^2\\
y\cossec(\theta_0+\omega t)=\rho(1-e^{-2t})[/tex3]

Resposta

---

[tex3]x\sec(\theta_0+\omega t)=p_0(1-e^{-2t})\\
\sec(\theta_0+\omega t)dx=\rho_0\cdot -2\cdot -e^{-2t}dt\\
\frac{dx}{dt}=2\rho_0e^{-2t}\cos(\theta_0+\omega t)\\
y\cossec(\theta_0+\omega t)=\rho(1-e^{-2t})\\
\cossec(\theta_0+\omega t)dy=2\rho_0 e^{-2t}dt\\
\frac{dy}{dt}=2\rho_0e^{-2t}\sen(\theta_0+\omega t)\\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\sec(\theta_0+\omega t)=p_0(1-e^{-2t})\\
\sec(\theta_0+\omega t)dx=\rho_0\cdot -2\cdot -e^{-2t}dt\\
\frac{dx}{dt}=2\rho_0e^{-2t}\cos(\theta_0+\omega t)\\
y\cossec(\theta_0+\omega t)=\rho(1-e^{-2t})\\
\cossec(\theta_0+\omega t)dy=2\rho_0 e^{-2t}dt\\
\frac{dy}{dt}=2\rho_0e^{-2t}\sen(\theta_0+\omega t)\\[/tex3]

O módulo da velocidade pode ser encontrado por pitágoras:

[tex3]\frac{ds}{dt}=\sqrt{\frac{dx^2}{dt^2}+\frac{dy^2}{dt^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ds}{dt}=\sqrt{\frac{dx^2}{dt^2}+\frac{dy^2}{dt^2}}[/tex3]

Tente fazer para a aceleração agora e diga o resultado.

Não tente fazer do jeito que eu falei antes, por derivadas parciais. Acho que não é esse o objetivo da questão, mas se quiser eu te mostro o processo.

[mateusworks]

Sim, André, por favor. Quando você puder fazer por derivação parcial ficarei muito grato. Estarei fazendo pra aceleração aqui.

[Andre13000]

Aparentemente por derivada parcial não muda nada porque você terá de seguir o mesmo caminho de isolar x e y em relação a t (tentei ser esperto), e só vai te complicar, kkkk. Ia dar certo, mas ia dar mais trabalho. Mas na maioria dos casos te salva tempo. Quando você estudar derivadas parciais, verá que é uma ferramenta muito útil para análise de funções de várias variáveis (e mais um bucado de coisa).

[mateusworks]

Já estudei derivadas parciais. Acho que fazer tudo isso por coordenadas polares é mais simples. Kkkkkk. Para achar a aceleração eu só faço a derivada segunda de cada componente e jogo em Pitágoras, não é isso?

[Andre13000]

Exato.

[mateusworks]

Obrigado, André. Ajudou muito.