Física I ⇒ Energia mecânica: sistema massa-mola vertical Tópico resolvido

[yamunaque]

Boa noite. Estou travado na seguinte questão:

(Uma bolinha um objeto estão oscilando em um sistema massa-mola vertical) Durante o movimento harmónico de uma bolinha e um objeto que estão presos juntos, a mola está em seu tamanho natural quando o objeto atinge sua altura máxima. Ache a energia cinética da bolinha no instante anterior a ela atingir o objeto.

Dados: massa do objeto = M ; massa da bolinha = m ; gravidade = g ; constante elástica da mola = k.

Tentei fazer pensando na energia total do sistema em cada instante, mas cheguei a um resultado que não consta nas alternativas. Se alguém puder me ajudar, fico agradecido.

A questão estava em inglês, tentei traduzí-la literalmente, mas caso necessário aqui vai o link (É a questão (5) da página oito, lá também têm as alternativas): http://www.studyjapan.go.jp/pdf/questions/15/ga_phy.pdf

[Andre13000]

Olá, eu dei uma olhada na questão e daqui a pouco e venho com uma resolução, mas por favor edite o enunciado pois estão faltando informações essenciais nele.

[Planck]

Olá yamunaque,

Na oscilação, quando a mola atinge altura máxima, ela ficou em seu tamanho natural [tex3](\text{F}_{\text{el}} = \text{P})[/tex3]

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[tex3](\text{F}_{\text{el}} = \text{P})[/tex3]

. Portanto, imediatamente antes da colisão, ambos, objeto e bola, estavam em uma mesma altura, que vou nomear como [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

.

[tex3]\text{E}_\text{c} + \text{E}_{\text {pel}} = \text{E}_{\text{p}} \, \, \implies \, \, \frac{(\text{M+m}) \cdot \text{v}^2_f}{2} + \frac{k \cdot \text{x}^2}{2} =(\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot x [/tex3]

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[tex3]\text{E}_\text{c} + \text{E}_{\text {pel}} = \text{E}_{\text{p}} \, \, \implies \, \, \frac{(\text{M+m}) \cdot \text{v}^2_f}{2} + \frac{k \cdot \text{x}^2}{2} =(\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot x [/tex3]

O interessante aqui é que a mola vai comprimir justamente o tamanho [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

e ficar suspensa por essa altura ([tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

), com a bola e objeto grudados. Além disso, o valor de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

pode ser descoberto quando temos a seguinte situação:

[tex3]\text{F}_{\text{el}} = \text{P} \, \, \implies \, \, k \cdot x = \text M \cdot \text g \, \, \implies x = \frac{ \text M \cdot \text g}{k}[/tex3]

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[tex3]\text{F}_{\text{el}} = \text{P} \, \, \implies \, \, k \cdot x = \text M \cdot \text g \, \, \implies x = \frac{ \text M \cdot \text g}{k}[/tex3]

Com isso, podemos fazer que:

[tex3]\frac{(\text{M+m}) \cdot \text{v}^2_f}{2} =(\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot x - \frac{k \cdot \text{x}^2}{2} \, \, \iff \, \,(\text{M+m}) \cdot \text{v}^2_f = 2 \cdot (\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot x - k \cdot \text{x}^2 [/tex3]

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[tex3]\frac{(\text{M+m}) \cdot \text{v}^2_f}{2} =(\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot x - \frac{k \cdot \text{x}^2}{2} \, \, \iff \, \,(\text{M+m}) \cdot \text{v}^2_f = 2 \cdot (\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot x - k \cdot \text{x}^2 [/tex3]

Podemos encontrar [tex3]\text{v}_f[/tex3]

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[tex3]\text{v}_f[/tex3]

utilizando Conservação da Quantidade de Movimento:

[tex3]\text{Q}_i = \text{Q}_f \,\, \implies \, \, \text m \cdot \text v = \text{v}_f \cdot \text m + \text v_f \cdot \text M \, \, \implies \, \, \text v_f = \frac{\text m \cdot \text v}{(\text m + \text M)}[/tex3]

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[tex3]\text{Q}_i = \text{Q}_f \,\, \implies \, \, \text m \cdot \text v = \text{v}_f \cdot \text m + \text v_f \cdot \text M \, \, \implies \, \, \text v_f = \frac{\text m \cdot \text v}{(\text m + \text M)}[/tex3]

Desse fato, podemos fazer que:

[tex3](\text{M+m}) \cdot \text{v}^2_f = 2 \cdot (\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot x - k \cdot \text{x} ^2\, \, \implies \, \, (\text{M+m}) \cdot \frac{(\text m \cdot \text v)^2}{(\text m + \text M)^2} = 2 \cdot (\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot \frac{ \text M \cdot \text g}{k} - k \cdot \frac{ (\text M \cdot \text g)^2}{k^2} [/tex3]

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[tex3](\text{M+m}) \cdot \text{v}^2_f = 2 \cdot (\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot x - k \cdot \text{x} ^2\, \, \implies \, \, (\text{M+m}) \cdot \frac{(\text m \cdot \text v)^2}{(\text m + \text M)^2} = 2 \cdot (\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot \frac{ \text M \cdot \text g}{k} - k \cdot \frac{ (\text M \cdot \text g)^2}{k^2} [/tex3]

Daqui em diante, vamos fazer algumas manipulações:

[tex3](\text{M+m}) \cdot \frac{(\text m \cdot \text v)^2}{(\text m + \text M)^2} = 2 \cdot (\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot \frac{ \text M \cdot \text g}{k} - k \cdot \frac{ (\text M \cdot \text g)^2}{k^2} \, \, \implies \, \, \frac{(\text m \cdot \text v)^2}{(\text m + \text M)} = 2 \cdot (\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot \frac{ \text M \cdot \text g}{k} - \frac{ (\text M \cdot \text g)^2}{k}
[/tex3]

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[tex3](\text{M+m}) \cdot \frac{(\text m \cdot \text v)^2}{(\text m + \text M)^2} = 2 \cdot (\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot \frac{ \text M \cdot \text g}{k} - k \cdot \frac{ (\text M \cdot \text g)^2}{k^2} \, \, \implies \, \, \frac{(\text m \cdot \text v)^2}{(\text m + \text M)} = 2 \cdot (\text{M+m}) \cdot \text {g} \cdot \frac{ \text M \cdot \text g}{k} - \frac{ (\text M \cdot \text g)^2}{k}
[/tex3]

[tex3](\text m \cdot \text v)^2 = \frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text g \cdot \text M \cdot \text g - (\text M \cdot \text g)^2] \cdot (\text {M+m})}{k}[/tex3]

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[tex3](\text m \cdot \text v)^2 = \frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text g \cdot \text M \cdot \text g - (\text M \cdot \text g)^2] \cdot (\text {M+m})}{k}[/tex3]

E mais manipulação:

[tex3]\text m \cdot \text m \cdot \text v^2 = \frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text g \cdot \text M \cdot \text g - (\text M \cdot \text g)^2] \cdot (\text {M+m})}{k} \, \, \implies \, \, \text m \cdot \text v^2 = \frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text g \cdot \text M \cdot \text g - (\text M \cdot \text g)^2] \cdot (\text {M+m})}{\text m \cdot \text k}[/tex3]

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[tex3]\text m \cdot \text m \cdot \text v^2 = \frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text g \cdot \text M \cdot \text g - (\text M \cdot \text g)^2] \cdot (\text {M+m})}{k} \, \, \implies \, \, \text m \cdot \text v^2 = \frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text g \cdot \text M \cdot \text g - (\text M \cdot \text g)^2] \cdot (\text {M+m})}{\text m \cdot \text k}[/tex3]

Dividindo ambos lados por [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

:

[tex3]\frac{ \text m \cdot \text v^2}{2} = \frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text g \cdot \text M \cdot \text g - (\text M \cdot \text g)^2] \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k} \, \, \iff \, \, \text{E}_{\text{c}} =\frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text g \cdot \text M \cdot \text g - (\text M \cdot \text g)^2] \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k} [/tex3]

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[tex3]\frac{ \text m \cdot \text v^2}{2} = \frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text g \cdot \text M \cdot \text g - (\text M \cdot \text g)^2] \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k} \, \, \iff \, \, \text{E}_{\text{c}} =\frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text g \cdot \text M \cdot \text g - (\text M \cdot \text g)^2] \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k} [/tex3]

E mais alguma manipulação para chegar a algo que tenha no gabarito:

[tex3]\text{E}_{\text{c}} =\frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text M \cdot \text g^2 - \text M^2 \cdot \text g^2] \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k} \, \, \iff \, \, \frac{\text M \cdot \text g^2 \cdot [2 \cdot (\text{M+m}) - \text M] \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k} \, \, \iff \, \, \frac{\text M \cdot \text g^2 \cdot [2 \cdot \text {M} + 2 \cdot \text{m}- \text M] \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k}[/tex3]

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[tex3]\text{E}_{\text{c}} =\frac{[2 \cdot (\text{M+m})\cdot \text M \cdot \text g^2 - \text M^2 \cdot \text g^2] \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k} \, \, \iff \, \, \frac{\text M \cdot \text g^2 \cdot [2 \cdot (\text{M+m}) - \text M] \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k} \, \, \iff \, \, \frac{\text M \cdot \text g^2 \cdot [2 \cdot \text {M} + 2 \cdot \text{m}- \text M] \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k}[/tex3]

E, finalmente, obtemos que:

[tex3]{\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\text{E}_{\text{c}} = \frac{\text M \cdot \text g^2 \cdot (\text {M} + 2 \cdot \text{m}) \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k}}_{_{{⠀}_{⠀}}}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]

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[tex3]{\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\text{E}_{\text{c}} = \frac{\text M \cdot \text g^2 \cdot (\text {M} + 2 \cdot \text{m}) \cdot (\text {M+m})}{2\cdot \text m \cdot \text k}}_{_{{⠀}_{⠀}}}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]