O movimento bidimensional de uma partícula, em relação a um sistema cartesiano (x;y) é dado pelas relações:
[tex3]x=t^2+2t[/tex3]
[tex3]y=4t^3+5[/tex3]
O vetor deslocamento entre os instantes t1=0 e t2=1s forma com o eixo dos x um ângulo cujo cosseno vale:
Resposta: 0,6.
Nota: encontrei o valor [tex3]\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex3]
como resposta e não estou conseguindo achar outro valor. Agradeço desde já.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Física I ⇒ Cinemática vetorial.
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Rafa2604
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Mar 2017
19
20:16
Re: Cinemática vetorial.
[tex3]x(t) =t^2 + 2t[/tex3]
[tex3]y(t) = 4t^3 +5[/tex3]
Em [tex3]t_1 = 0[/tex3] , temos o ponto:
[tex3]x(0) = 0^2 + 2\cdot 0 = 0[/tex3]
[tex3]y(0) = 4 \cdot 0^3 + 5 = 5[/tex3]
[tex3]P_1 = (0,5)[/tex3]
Em [tex3]t_2 = 1[/tex3] , temos o ponto:
[tex3]x(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 1+2 = 3[/tex3]
[tex3]y(1) = 4 \cdot 1^3 + 5 = 4 + 5 = 9[/tex3]
[tex3]P_2 = (3,9)[/tex3]
Graficamente, podemos visualizar esses pontos e o vetor correspondente:
Note que o ângulo que vetor forma com o eixo x é dado por:
Como forma um triângulo retângulo, descobrimos a hipotenusa por Pitágoras:
[tex3]h^2 = 4^2 + 3^2 \;\; \rightarrow \;\; h^2 = 16 + 9 = 25 \;\; \rightarrow \;\; h = 5[/tex3]
Agora, podemos utilizar a Lei dos Cossenos para encontrar cos(x):
[tex3]a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos(x)[/tex3]
[tex3]\cos (x) =\frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2\cdot b \cdot c}[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 16}{30}[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0.6[/tex3]
[tex3]y(t) = 4t^3 +5[/tex3]
Em [tex3]t_1 = 0[/tex3] , temos o ponto:
[tex3]x(0) = 0^2 + 2\cdot 0 = 0[/tex3]
[tex3]y(0) = 4 \cdot 0^3 + 5 = 5[/tex3]
[tex3]P_1 = (0,5)[/tex3]
Em [tex3]t_2 = 1[/tex3] , temos o ponto:
[tex3]x(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 1+2 = 3[/tex3]
[tex3]y(1) = 4 \cdot 1^3 + 5 = 4 + 5 = 9[/tex3]
[tex3]P_2 = (3,9)[/tex3]
Graficamente, podemos visualizar esses pontos e o vetor correspondente:
- gráfico1.png (3.84 KiB) Exibido 1706 vezes
- gráfico2.png (3.94 KiB) Exibido 1706 vezes
[tex3]h^2 = 4^2 + 3^2 \;\; \rightarrow \;\; h^2 = 16 + 9 = 25 \;\; \rightarrow \;\; h = 5[/tex3]
Agora, podemos utilizar a Lei dos Cossenos para encontrar cos(x):
[tex3]a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos(x)[/tex3]
[tex3]\cos (x) =\frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2\cdot b \cdot c}[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 16}{30}[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0.6[/tex3]
Editado pela última vez por Rafa2604 em 19 Mar 2017, 20:16, em um total de 1 vez.
-
Auto Excluído (ID:17092)
- Última visita: 31-12-69
Mar 2017
19
20:28
Re: Cinemática vetorial.
Utilize vetores, Killin.
Veja bem, se você plotar os gráficos de t1 e t2 obterá o vetor deslocamento ([tex3]\vec{d} = \vec{d}_2 - \vec{d}_1[/tex3] ). Com o vetor deslocamento, bastaria calcular o tamanho do vetor e aplicar a razão do cosseno.
É bem semelhante ao que colega acima postou, mas é bem direta. Muito direta. Vou rascunhar o que aconteceria:
1º) Plotar os vetores em duas dimensões (x,y)
2º) Calcular o vetor deslocamento
[tex3]\vec{d} = \vec{d}_2 -\vec{d}_1[/tex3]
No nosso caso, o vetor [tex3]\vec{d}_2 = (3,9)[/tex3] e [tex3]\vec{d}_1 = (0,5)[/tex3] . O que implica em:
[tex3]\vec{d} = (3,9) - (0,5) \rightarrow \vec{d} = (3,4)[/tex3]
Basta calcular o módulo do vetor deslocamento:
[tex3]|\vec{d}|^2 = 3^2 + 4^2 \rightarrow |\vec{d}|^2 = 25 \rightarrow |\vec{d}| = 5[/tex3] (Tamanho não pode ser negativo)
3º) Aplicar a razão do cosseno
[tex3]cos(\theta) = \frac{cat. adjacente}{hipotenusa} \rightarrow cos(\theta) = \frac{3}{5} \rightarrow cos(\theta) = 0,6[/tex3]
Se ficou confuso, você pode falar comigo. A dica que dou é utilizar vetores, cara. Vetores tem um poder absurdo.
Nota: Agora que vi que ele fez do mesmo jeito, mas vou postar mesmo assim.
Veja bem, se você plotar os gráficos de t1 e t2 obterá o vetor deslocamento ([tex3]\vec{d} = \vec{d}_2 - \vec{d}_1[/tex3] ). Com o vetor deslocamento, bastaria calcular o tamanho do vetor e aplicar a razão do cosseno.
É bem semelhante ao que colega acima postou, mas é bem direta. Muito direta. Vou rascunhar o que aconteceria:
1º) Plotar os vetores em duas dimensões (x,y)
2º) Calcular o vetor deslocamento
[tex3]\vec{d} = \vec{d}_2 -\vec{d}_1[/tex3]
No nosso caso, o vetor [tex3]\vec{d}_2 = (3,9)[/tex3] e [tex3]\vec{d}_1 = (0,5)[/tex3] . O que implica em:
[tex3]\vec{d} = (3,9) - (0,5) \rightarrow \vec{d} = (3,4)[/tex3]
Basta calcular o módulo do vetor deslocamento:
[tex3]|\vec{d}|^2 = 3^2 + 4^2 \rightarrow |\vec{d}|^2 = 25 \rightarrow |\vec{d}| = 5[/tex3] (Tamanho não pode ser negativo)
3º) Aplicar a razão do cosseno
[tex3]cos(\theta) = \frac{cat. adjacente}{hipotenusa} \rightarrow cos(\theta) = \frac{3}{5} \rightarrow cos(\theta) = 0,6[/tex3]
Se ficou confuso, você pode falar comigo. A dica que dou é utilizar vetores, cara. Vetores tem um poder absurdo.
Nota: Agora que vi que ele fez do mesmo jeito, mas vou postar mesmo assim.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17092) em 19 Mar 2017, 20:28, em um total de 1 vez.
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Killin
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Mar 2017
19
20:31
Re: Cinemática vetorial.
Que descuido, o meu: não considerei que ele partiria no instante t1 de um ponto (0;5).
Obrigado por mais essa, Rafa!
Obrigado por mais essa, Rafa!
Life begins at the end of your comfort zone.
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Killin
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Mar 2017
19
20:35
Re: Cinemática vetorial.
Sim sim, Bernoulli! Eu havia feito isso, só que não considerei que ele partiria no instante t1 do ponto (0;5). Grande descuido meu.
De qualquer forma, agradeço a ótima explicação.
Abraço.
De qualquer forma, agradeço a ótima explicação.
Abraço.
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