Física ICinemática vetorial.

Mecânica: Estática e Dinâmica

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Killin
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Cinemática vetorial.

Mensagem não lida por Killin »

O movimento bidimensional de uma partícula, em relação a um sistema cartesiano (x;y) é dado pelas relações:
[tex3]x=t^2+2t[/tex3]
[tex3]y=4t^3+5[/tex3]
O vetor deslocamento entre os instantes t1=0 e t2=1s forma com o eixo dos x um ângulo cujo cosseno vale:



Resposta: 0,6.

Nota: encontrei o valor [tex3]\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex3] como resposta e não estou conseguindo achar outro valor. Agradeço desde já.

Última edição: Killin (Dom 19 Mar, 2017 19:02). Total de 1 vez.


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Rafa2604
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Re: Cinemática vetorial.

Mensagem não lida por Rafa2604 »

[tex3]x(t) =t^2 + 2t[/tex3]
[tex3]y(t) = 4t^3 +5[/tex3]

Em [tex3]t_1 = 0[/tex3] , temos o ponto:
[tex3]x(0) = 0^2 + 2\cdot 0 = 0[/tex3]
[tex3]y(0) = 4 \cdot 0^3 + 5 = 5[/tex3]

[tex3]P_1 = (0,5)[/tex3]

Em [tex3]t_2 = 1[/tex3] , temos o ponto:
[tex3]x(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 1+2 = 3[/tex3]
[tex3]y(1) = 4 \cdot 1^3 + 5 = 4 + 5 = 9[/tex3]

[tex3]P_2 = (3,9)[/tex3]

Graficamente, podemos visualizar esses pontos e o vetor correspondente:
gráfico1.png
gráfico1.png (3.84 KiB) Exibido 731 vezes
Note que o ângulo que vetor forma com o eixo x é dado por:
gráfico2.png
gráfico2.png (3.94 KiB) Exibido 731 vezes
Como forma um triângulo retângulo, descobrimos a hipotenusa por Pitágoras:
[tex3]h^2 = 4^2 + 3^2 \;\; \rightarrow \;\; h^2 = 16 + 9 = 25 \;\; \rightarrow \;\; h = 5[/tex3]

Agora, podemos utilizar a Lei dos Cossenos para encontrar cos(x):
[tex3]a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos(x)[/tex3]
[tex3]\cos (x) =\frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2\cdot b \cdot c}[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 16}{30}[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0.6[/tex3]

Última edição: Rafa2604 (Dom 19 Mar, 2017 20:16). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:17092)
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Mar 2017 19 20:28

Re: Cinemática vetorial.

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17092) »

Utilize vetores, Killin.
Veja bem, se você plotar os gráficos de t1 e t2 obterá o vetor deslocamento ([tex3]\vec{d} = \vec{d}_2 - \vec{d}_1[/tex3] ). Com o vetor deslocamento, bastaria calcular o tamanho do vetor e aplicar a razão do cosseno.
É bem semelhante ao que colega acima postou, mas é bem direta. Muito direta. Vou rascunhar o que aconteceria:
1º) Plotar os vetores em duas dimensões (x,y)
2º) Calcular o vetor deslocamento
[tex3]\vec{d} = \vec{d}_2 -\vec{d}_1[/tex3]
No nosso caso, o vetor [tex3]\vec{d}_2 = (3,9)[/tex3] e [tex3]\vec{d}_1 = (0,5)[/tex3] . O que implica em:
[tex3]\vec{d} = (3,9) - (0,5) \rightarrow \vec{d} = (3,4)[/tex3]
Basta calcular o módulo do vetor deslocamento:
[tex3]|\vec{d}|^2 = 3^2 + 4^2 \rightarrow |\vec{d}|^2 = 25 \rightarrow |\vec{d}| = 5[/tex3] (Tamanho não pode ser negativo)
3º) Aplicar a razão do cosseno
[tex3]cos(\theta) = \frac{cat. adjacente}{hipotenusa} \rightarrow cos(\theta) = \frac{3}{5} \rightarrow cos(\theta) = 0,6[/tex3]
Se ficou confuso, você pode falar comigo. A dica que dou é utilizar vetores, cara. Vetores tem um poder absurdo.
Nota: Agora que vi que ele fez do mesmo jeito, mas vou postar mesmo assim.
Última edição: Auto Excluído (ID:17092) (Dom 19 Mar, 2017 20:28). Total de 1 vez.



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Killin
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Re: Cinemática vetorial.

Mensagem não lida por Killin »

Que descuido, o meu: não considerei que ele partiria no instante t1 de um ponto (0;5).
Obrigado por mais essa, Rafa! :)


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Re: Cinemática vetorial.

Mensagem não lida por Killin »

Sim sim, Bernoulli! Eu havia feito isso, só que não considerei que ele partiria no instante t1 do ponto (0;5). Grande descuido meu.
De qualquer forma, agradeço a ótima explicação.
Abraço.



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