Física I ⇒ (Material Poliedro) Polias e tempo para bloco chegar ao piso Tópico resolvido

[Liliana]

A figura representa dois blocos A e B, de massa respectivamente iguais a 3 kg e 1 kg , conectados entre si por um fio leve e inextensível, que passa por uma polia ideal, fixa no teto de um elevador. Os blocos estão inicialmente em repouso, em relação ao elevador, nas posições indicadas. Admitindo que o elevador tenha aceleração de intensidade 2 m/s2 , vertical e dirigida para cima, determine o intervalo de tempo necessário para o bloco A atingir o piso do elevador . Adote g = 10m/s2

A figura tem duas polias, sendo que o bloco B está no chão e o bloco A está à 1,92 m do chão.


Resposta: 0,8s

[MatheusBorges]

Bom dia, Liliana. Tenho a solução da pergunta porém estou com dúvida nela. Vou aproveitar seu tópico e postá-la, ok?
Anexo da questão:

38910376_295292771024110_8870690720034324480_n.jpg (34.19 KiB) Exibido 4532 vezes

Resolução:

tópicos s.jpg (16.94 KiB) Exibido 4532 vezes

[tex3]\begin{cases}
P_a-T=m_a.a \\
T-P_b=m_b.a
\end{cases}\rightarrow g(m_a-m_b)=a.(m_a+m_b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
P_a-T=m_a.a \\
T-P_b=m_b.a
\end{cases}\rightarrow g(m_a-m_b)=a.(m_a+m_b)[/tex3]

Por que está está sendo usado a gravidade aparente e não a gravidade da "terra"? Isso me leva a entender que está sendo considerado o peso aparente, porém, o mesmo é a força normal de sustentação de alguma superfície e os blocos não estão sendo sustentados!
Alguém poderia me ajudar nessa?

[mateusITA]

I) O primeiro passo é descobrir a aceleração de cada bloco:

[tex3]\vec{a}_{bloco/terra}=\vec{a}_{bloco/elevador}+\vec{a}_{elevador/terra}[/tex3]

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[tex3]\vec{a}_{bloco/terra}=\vec{a}_{bloco/elevador}+\vec{a}_{elevador/terra}[/tex3]

Ou seja, a aceleração do bloco em relação a terra é igual a soma da aceleração do bloco em relação ao elevador com a aceleração do elevador em relação a terra.

Considerando um eixo y orientado para cima, a aceleração do elevador em relação a terra, [tex3]a_{elevador/terra}[/tex3]

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[tex3]a_{elevador/terra}[/tex3]

, é igual [tex3]+2~~m/s^2[/tex3]

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[tex3]+2~~m/s^2[/tex3]

.

Agora, considere que você esteja dentro do elevador... Se o bloco B sobe [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

em relação ao piso do elevador, A desce [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

.
Então, em termos da aceleração, podemos escrever que [tex3]a_{B/elevador}=-a_{A/elevador}[/tex3]

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[tex3]a_{B/elevador}=-a_{A/elevador}[/tex3]

. Seja [tex3]a[/tex3] igual [tex3]a_{B/elevador}[/tex3]

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[tex3]a_{B/elevador}[/tex3]

ou [tex3]-a_{B/elevador}[/tex3]

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[tex3]-a_{B/elevador}[/tex3]

. Portanto,

[tex3]\begin{cases}
a_{B/terra}=a_{B/elevador}+a_{elevador/terra}=a+2 \\
a_{A/terra}=a_{A/elevador}+a_{elevador/terra}=-a+2
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a_{B/terra}=a_{B/elevador}+a_{elevador/terra}=a+2 \\
a_{A/terra}=a_{A/elevador}+a_{elevador/terra}=-a+2
\end{cases}[/tex3]

II) O segundo passo é aplicar a segunda lei de Newton...

[tex3]\begin{cases}
\displaystyle\sum \vec{F}_A=m_A a_{A/terra} \\
\displaystyle\sum \vec{F}_B=m_B a_{B/terra}
\end{cases} \sim

\begin{cases}
T-m_Ag=m_A (-a+2) \\
T-m_Bg=m_B (a+2)
\end{cases} \sim

\begin{cases}
T-30= -3a+6 \\
T-10= a+2
\end{cases} \therefore

(a+12)-30=-3a+6 \therefore

\boxed{\boxed{a=+6~~m/s^2}}
[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\displaystyle\sum \vec{F}_A=m_A a_{A/terra} \\
\displaystyle\sum \vec{F}_B=m_B a_{B/terra}
\end{cases} \sim

\begin{cases}
T-m_Ag=m_A (-a+2) \\
T-m_Bg=m_B (a+2)
\end{cases} \sim

\begin{cases}
T-30= -3a+6 \\
T-10= a+2
\end{cases} \therefore

(a+12)-30=-3a+6 \therefore

\boxed{\boxed{a=+6~~m/s^2}}
[/tex3]

III) Agora, o jeito mais simples é voltar para o referencial do elevador e aplicar a equação da posição no MUV que nem na figura do MafIl10. O jeito mais complicado (mas nem tão complicado) é, no referencial da terra, resolver a equação [tex3]y_{piso~elev}(t)=y_{A}(t)[/tex3]

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[tex3]y_{piso~elev}(t)=y_{A}(t)[/tex3]

(isto é, quando o bloco A se encontra com o piso):

[tex3]y_{piso}=y_{A}[/tex3]

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[tex3]y_{piso}=y_{A}[/tex3]

[tex3]H+\frac{2t^2}{2}=(H+1,92)-\frac{4t^2}{2}[/tex3]

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[tex3]H+\frac{2t^2}{2}=(H+1,92)-\frac{4t^2}{2}[/tex3]

[tex3]H+t^2=H+1,92-2t^2[/tex3]

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[tex3]H+t^2=H+1,92-2t^2[/tex3]

[tex3]t^2=0,64[/tex3]

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[tex3]t^2=0,64[/tex3]

[MatheusBorges]

mateusITA, tem algo de errado aqui irmão:
[tex3]\begin{cases}
T-m_Ag=m_A (-a+2) \\
T-m_Bg=m_B (a+2)
\end{cases}
[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
T-m_Ag=m_A (-a+2) \\
T-m_Bg=m_B (a+2)
\end{cases}
[/tex3]

A equação está sinalizando que a Tração em A é maior que o Peso. Isso faria com que o bloco A subisse ou algo do gênero e não descesse!
E veja que:
[tex3]\begin{cases}
P_a-T=m_a.a \\
T-P_b=m_b.a
\end{cases}\rightarrow g(m_a-m_b)=a.(m_a+m_b)\rightarrow 20=a.(4)\rightarrow a=5\frac{m}{s^{2}}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
P_a-T=m_a.a \\
T-P_b=m_b.a
\end{cases}\rightarrow g(m_a-m_b)=a.(m_a+m_b)\rightarrow 20=a.(4)\rightarrow a=5\frac{m}{s^{2}}[/tex3]

, ou seja:
[tex3]\begin{cases}
a_{B/terra}=a_{B/elevador}+a_{elevador/terra}=a+2=5+2=7 \\
a_{A/terra}=a_{A/elevador}+a_{elevador/terra}=-a+2=-5+2=-3
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a_{B/terra}=a_{B/elevador}+a_{elevador/terra}=a+2=5+2=7 \\
a_{A/terra}=a_{A/elevador}+a_{elevador/terra}=-a+2=-5+2=-3
\end{cases}[/tex3]

O que de fato é verdade, pois o bloco A nesses 0,8s desce em relação a um referencial fixo na terra. Como disse o mestre Euclides aqui:
https://pir2.forumeiros.com/t104432-duv ... e-aparente
O que você acha? Se possível, poderia me dizer o por quê foi usado o peso aparente (Na resolução da folha branca que coloquei na primeira postagem)?

tópicos da depree.png (18.83 KiB) Exibido 4478 vezes

[undefinied3]

Não é verdade. Veja que foi encontrado a=6, então (-a+2)=-4, então T-ma*g é menor que zero, de modo que a tração não é maior que o peso.

[mateusITA]

I) "A equação está sinalizando que a Tração em A é maior que o Peso."

A equação está condizente com o eixo de referência que foi adotado (orientado para cima): Como o peso é orientado para baixo, apareceu um sinal negativo antes do produto massa-gravidade. Já o vetor tração, é orientado para cima (daí o sinal positivo em consonância com a orientação do eixo y). Se eu colocasse o sinal negativo na frente, conceitualmente significaria que o fio estaria empurrando o bloco para baixo, o que não faz sentido pois o fio é ideal (fio ideal não empurra...).

II) "...Isso faria com que o bloco A subisse ou algo do gênero e não descesse!"

Fazendo [tex3]a=6[/tex3]

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[tex3]a=6[/tex3]

na equação [tex3]T-m_Ag=m_A (-a+2)[/tex3]

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[tex3]T-m_Ag=m_A (-a+2)[/tex3]

, achamos [tex3]T=+18~N[/tex3]

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[tex3]T=+18~N[/tex3]

. Portanto, [tex3]\displaystyle\sum \vec{F}_A=18\hat{j}-30\hat{j}=-12\hat{j}~~N[/tex3]

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[tex3]\displaystyle\sum \vec{F}_A=18\hat{j}-30\hat{j}=-12\hat{j}~~N[/tex3]

. Veja que a força resultante "aponta" para baixo e, portanto, para um observador na terra, o bloco desce.

Obs: Dá uma olhada na parte de vetores e eixos de referência...

III) "E veja que [tex3]\begin{cases}
T-P_a=-m_a.a \\
T-P_b=m_b.a
\end{cases}\rightarrow g(m_a-m_b)=a.(m_a+m_b)\rightarrow 20=a.(4)\rightarrow a=5\frac{m}{s^{2}}[/tex3]"

Há um erro conceitual na aplicação dessas duas equações. Equivocadamente, utilizaram a aceleração calculada através desse sistema como se fosse a aceleração dos blocos em relação ao elevador, o que não é verdade. Essa aceleração na realidade é a aceleração do centro de massa dos blocos A e B em relação a terra. De fato, veja que isso está de acordo com o que eu calculei:

[tex3]\begin{cases}
a_{B/terra}=a_{B/elevador}+a_{elevador/terra}=6+2 =8~~m/s^2\\
a_{A/terra}=a_{A/elevador}+a_{elevador/terra}=-6+2 = -4~~m/s^2
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a_{B/terra}=a_{B/elevador}+a_{elevador/terra}=6+2 =8~~m/s^2\\
a_{A/terra}=a_{A/elevador}+a_{elevador/terra}=-6+2 = -4~~m/s^2
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{a_{cm}=\frac{m_Aa_A+m_Ba_B}{m_A+m_B}=\frac{3\cdot8-1\cdot4}{3+1}=+5~~m/s^2}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{a_{cm}=\frac{m_Aa_A+m_Ba_B}{m_A+m_B}=\frac{3\cdot8-1\cdot4}{3+1}=+5~~m/s^2}}[/tex3]

No referencial do elevador, que é não-inercial, aparecerão forças inerciais tanto no bloco A quanto no bloco B orientadas para baixo e cuja intensidade é dada pelo produto da massa dos respectivos blocos pela aceleração do elevador. Fazendo essas correções no sistema, aí sim, a aceleração calculada será em relação ao elevador.

Obs: Em geral, não é visto no Ensino Médio regular a aplicação da segunda lei de Newton em referenciais acelerados. Normalmente em turmas IME/ITA, comentam a respeito dessas "forças fictícias" como são chamadas (quer dizer não sei se em todas turmas IME/ITA rsrs, mas pelo menos na minha e a de alguns colegas meus). Dê uma olhada em força de Coriolis e em força centrífuga. A força centrífuga é aquela força "misteriosa" que te joga para o lado quando o carro no qual você está faz uma curva por exemplo. Não há nada material efetivamente te empurrando, entretanto você sente... (daí o nome força fictícia). Isso acontece porque o carro ao fazer uma curva está acelerado, portanto, não é um referencial inercial.


Confesso que faz um certo tempo que não estudo física. A última vez que estudei mecânica foi na cadeira de Física I e já se vão quase 3 anos rsrs... Por isso, posso tá meio enferrujado mas não vejo nenhum erro na resolução. Espero ter ajudado

[MatheusBorges]

Complicado. No livro não falou nada sobre referencial não inercial, centro de massa e força centrífuga. Provavelmente será tratado mais pra frente. De qualquer forma sua solução já me deu um bom norte (Vou dar uma lida já nisso). Muito Obrigado!

[mateusITA]

Só fazendo uma correção...

Na hora de calcular a aceleração do centro de massa, troquei as massas de A por B:

[tex3]\boxed{\boxed{a_{cm}=\frac{m_aa_A+m_Ba_B}{m_A+m_B}=\frac{1\cdot8-3\cdot4}{3+1}=-1~~m/s^2}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{a_{cm}=\frac{m_aa_A+m_Ba_B}{m_A+m_B}=\frac{1\cdot8-3\cdot4}{3+1}=-1~~m/s^2}}[/tex3]

Se considerarmos o sistema como os dois blocos, as forças externas serão os pesos (exercido pela Terra) e as trações (exercida pelo elevador):

[tex3]-P_A-P_B+T+T=(m_A+m_B)a_{cm}[/tex3]

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[tex3]-P_A-P_B+T+T=(m_A+m_B)a_{cm}[/tex3]

[tex3]-30-10+18+18=(3+1)a_{cm}\therefore a_{cm}=-1~~m/s^2[/tex3]

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[tex3]-30-10+18+18=(3+1)a_{cm}\therefore a_{cm}=-1~~m/s^2[/tex3]

[snooplammer]

Complicado. No livro não falou nada sobre referencial não inercial, centro de massa e força centrífuga. Provavelmente será tratado mais pra frente. De qualquer forma sua solução já me deu um bom norte (Vou dar uma lida já nisso). Muito Obrigado!

Eu não fiz a parte de dinâmica pelo Tópicos, mas acho que ele não fala sobre o referencial não inercial.

No livro Fundamentos da Mecânica Vol.1 do RB, ele vem explicando bem sobre isso. Acho muita vantagem estudar mecânica nesse livro. Existe ele em pdf, se quiser o pdf manda mp

[MatheusBorges]

Sim ele não fala (Eu já tenho o pdf hahaha obrigado amigo!). Mas a minha matemática não permite estudar esse livro, ainda. Estou pareando Espacial e Combinatória. Pra esse livro preciso do básico de cálculo...