Um piloto deseja voar para Leste, de A até B e, em seguida voar para Oeste, retornando a A. A velocidade do ar em relação ao solo é u. A distância entre A e B é l, e a A velocidade do avião no ar é V', e constante.
A) Se u=0 (ar parado), mostre que o tempo para a viagem de ida e volta é [tex3]t_{o}=\frac{2l}{V}[/tex3]
B) Suponha que a velocidade do vento esteja dirigida para o Leste (ou para o Oeste). Mostre que o tempo de ida e volta será [tex3]t_{e}=\frac{t_{o}}{1-\frac{u^2}{V^2}}[/tex3]
C) Suponha que a velocidade do vento esteja dirigida para o Norte (ou para o Sul). Mostre então que o tempo de ida e volta será [tex3]t_{n}=\frac{t_{o}}{\sqrt{1-\frac{n^2}{V^2}}}[/tex3]
Física I ⇒ (Farias Brito) Movimento relativo Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2017
02
19:40
(Farias Brito) Movimento relativo
Última edição: Gu178 (Qui 02 Mar, 2017 19:40). Total de 2 vezes.
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Mai 2019
15
18:19
Re: (Farias Brito) Movimento relativo
Boa noite. Alguém consegue fazer essa, por gentileza?
Obrigado!
Obrigado!
Mai 2019
15
19:38
Re: (Farias Brito) Movimento relativo
Olá Gu178 e miltonsermoud,
Primeiramente, para a primeira situação, temos que:
[tex3]t_{ida} = \frac{l}{V}[/tex3]
[tex3]t_{volta} = \frac{l}{V}[/tex3]
Desse modo, o tempo total é dado por:
[tex3]\boxed{t_{1} = \frac{l}{V} + \frac{l}{V} \Rightarrow \frac{2 \cdot l}{V} }[/tex3]
Na segunda situação, temos que:
[tex3]t_{ida} = \frac{l}{V+ u}[/tex3]
[tex3]t_{volta} = \frac{l}{V-u}[/tex3]
[tex3]t_{2} = \frac{l}{V + u} + \frac{l}{V - u} [/tex3]
[tex3]t_{2} = \frac{l \cdot (V-u) + l \cdot ( V+ u)}{V^2 - u^2} [/tex3]
[tex3]t_{2} = \frac{l \cdot V{\color{red}\cancel{{\color{black}- l \cdot u}}} + l \cdot V{\color{red}\cancel{{\color{black}+ l \cdot u}}} }{V^2 - u^2} [/tex3]
[tex3]t_{2} = \frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2 - u^2}[/tex3]
Mas:
[tex3]t_1 = \frac{2 \cdot l}{V}[/tex3]
Multiplicando o numerador e o denominador por [tex3]V[/tex3] :
[tex3]t_1 = \frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}[/tex3]
E, dividindo o numerado e o denominador por [tex3]V^2[/tex3] :
[tex3]t_{2} = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{\frac{V^2 - u^2}{V^2}}[/tex3]
[tex3]t_{2} = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{1 - \frac{u^2}{V^2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{t_{2} = \frac{t_1}{1 - \frac{u^2}{V^2}}}[/tex3]
Para terceira situação, temos que:
Na ida: Na volta: Desse modo:
[tex3]t_{ida} = \frac{l}{V}[/tex3]
Mas:
[tex3]V^2 + u^2 = w^2[/tex3]
[tex3]V = \sqrt{w^2 - u^2}[/tex3]
Portanto:
[tex3]t_{ida} = \frac{l}{\sqrt{w^2 - u^2}}[/tex3]
Para a volta, teremos:
[tex3]t_{volta} = \frac{l}{V}[/tex3]
[tex3]V^2 + u^2 = w^2[/tex3]
[tex3]V^2 = w^2-u^2[/tex3]
[tex3]V = \sqrt { w^2 - u^2}[/tex3]
Assim:
[tex3]t_{volta} = \frac{l}{\sqrt {w^2 - u^2}}[/tex3]
Com isso:
[tex3]t_3 =\frac{l}{\sqrt{w^2 - u^2}} + \frac{l}{\sqrt {w^2 - u^2}} [/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l}{\sqrt{w^2 - u^2}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l}{\sqrt{w^2 - u^2}} \cdot \frac{V}{V}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l \cdot V}{V \cdot \sqrt{w^2 - u^2}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l \cdot V}{ \sqrt{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \frac{\sqrt{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}{V^2}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \frac{\sqrt{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}{\sqrt{V^4}}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \sqrt{\frac{{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}{{V^4}}}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \sqrt{\frac{{ (w^2 - u^2)}}{{V^2}}}}[/tex3]
[tex3]\boxed{t_3 = \frac{t_0}{ \sqrt{\frac{{ (w^2 - u^2)}}{{V^2}}}}}[/tex3]
Na última, não consegui chegar na mesma relação do gabarito. Devo ter cometido algum equívoco quanto aos vetores.
Primeiramente, para a primeira situação, temos que:
[tex3]t_{ida} = \frac{l}{V}[/tex3]
[tex3]t_{volta} = \frac{l}{V}[/tex3]
Desse modo, o tempo total é dado por:
[tex3]\boxed{t_{1} = \frac{l}{V} + \frac{l}{V} \Rightarrow \frac{2 \cdot l}{V} }[/tex3]
Na segunda situação, temos que:
[tex3]t_{ida} = \frac{l}{V+ u}[/tex3]
[tex3]t_{volta} = \frac{l}{V-u}[/tex3]
[tex3]t_{2} = \frac{l}{V + u} + \frac{l}{V - u} [/tex3]
[tex3]t_{2} = \frac{l \cdot (V-u) + l \cdot ( V+ u)}{V^2 - u^2} [/tex3]
[tex3]t_{2} = \frac{l \cdot V{\color{red}\cancel{{\color{black}- l \cdot u}}} + l \cdot V{\color{red}\cancel{{\color{black}+ l \cdot u}}} }{V^2 - u^2} [/tex3]
[tex3]t_{2} = \frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2 - u^2}[/tex3]
Mas:
[tex3]t_1 = \frac{2 \cdot l}{V}[/tex3]
Multiplicando o numerador e o denominador por [tex3]V[/tex3] :
[tex3]t_1 = \frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}[/tex3]
E, dividindo o numerado e o denominador por [tex3]V^2[/tex3] :
[tex3]t_{2} = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{\frac{V^2 - u^2}{V^2}}[/tex3]
[tex3]t_{2} = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{1 - \frac{u^2}{V^2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{t_{2} = \frac{t_1}{1 - \frac{u^2}{V^2}}}[/tex3]
Para terceira situação, temos que:
Na ida: Na volta: Desse modo:
[tex3]t_{ida} = \frac{l}{V}[/tex3]
Mas:
[tex3]V^2 + u^2 = w^2[/tex3]
[tex3]V = \sqrt{w^2 - u^2}[/tex3]
Portanto:
[tex3]t_{ida} = \frac{l}{\sqrt{w^2 - u^2}}[/tex3]
Para a volta, teremos:
[tex3]t_{volta} = \frac{l}{V}[/tex3]
[tex3]V^2 + u^2 = w^2[/tex3]
[tex3]V^2 = w^2-u^2[/tex3]
[tex3]V = \sqrt { w^2 - u^2}[/tex3]
Assim:
[tex3]t_{volta} = \frac{l}{\sqrt {w^2 - u^2}}[/tex3]
Com isso:
[tex3]t_3 =\frac{l}{\sqrt{w^2 - u^2}} + \frac{l}{\sqrt {w^2 - u^2}} [/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l}{\sqrt{w^2 - u^2}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l}{\sqrt{w^2 - u^2}} \cdot \frac{V}{V}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l \cdot V}{V \cdot \sqrt{w^2 - u^2}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l \cdot V}{ \sqrt{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \frac{\sqrt{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}{V^2}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \frac{\sqrt{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}{\sqrt{V^4}}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \sqrt{\frac{{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}{{V^4}}}}[/tex3]
[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \sqrt{\frac{{ (w^2 - u^2)}}{{V^2}}}}[/tex3]
[tex3]\boxed{t_3 = \frac{t_0}{ \sqrt{\frac{{ (w^2 - u^2)}}{{V^2}}}}}[/tex3]
Na última, não consegui chegar na mesma relação do gabarito. Devo ter cometido algum equívoco quanto aos vetores.
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