Física I ⇒ Questão - Einstein - Gêmeos - Raiz - Fração

[ismaelmat]

19.263-(UEL-PR) Einstein propôs uma nova interpretação do espaço e do tempo, indicando que não são grandezas independentes absolutas e iguais para quaisquer observadores, mas relativas dependem do estado de movimento entre observador e observado. Um dos resultados dessa nova visão é conhecido como dilatação temporal, a qual afirma que um observador em repouso em relação a um fenômeno, ao medir sua duração, atribuir-lhe-á um intervalo ∆t, ao passo que um observador que fizer medidas um do fenômeno em movimento, com velocidade V, irá atribuir uma duração ∆t', sendo que

∆t' = ∆t/((√1-(v/c)^2))

Ps: A raiz engloba a relação 1 - (v/c)^2

Em que c é a velocidade da luz. Considere que dois irmãos gêmeos sejam separados ao nascerem e que um deles seja colocado em uma nave espacial que se desloca com velocidade v pelo espaço durante 20 anos, enquanto o outro permanece em repouso na Terra. Com base na equação anterior, para que o irmão que ficou na Terra tenha 60 anos no momento do reencontro entre eles, a velocidade da nave deverá ser de:

a)2c√2/3

b)c/2

c)8c/9

d)c

e)2c

Gabarito: A

Alguém Pode Resolver Algebricamente, pois não estou conseguindo isolar v!

[Rafa2604]

[tex3]\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}}[/tex3]

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[tex3]\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}}[/tex3]

, em que c é a velocidade da luz.

Portanto, temos que:
[tex3]\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}} \;\; \rightarrow \;\; (\Delta t')^2 = \frac{(\Delta t)^2}{1- \frac{v^2}{c^2}} \;\; \rightarrow \;\; (\Delta t')^2.\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right) = (\Delta t)^2 \;\; \rightarrow \;\;\\\\ (\Delta t')^2- (\Delta t')^2.\frac{v^2}{c^2} = (\Delta t)^2 \;\; \rightarrow \;\; - (\Delta t')^2.\frac{v^2}{c^2} = (\Delta t)^2 - (\Delta t')^2\;\; \rightarrow \;\; \\\\ \frac{v^2}{c^2} = \frac{(\Delta t')^2 - (\Delta t)^2}{(\Delta t')^2} \;\; \rightarrow \;\; v^2 = c^2. \frac{(\Delta t')^2 - (\Delta t)^2}{(\Delta t')^2} \;\; \rightarrow \;\; v = \sqrt{c^2. \frac{(\Delta t')^2 - (\Delta t)^2}{(\Delta t')^2} } \;\; \rightarrow \;\;\\\\ v = c. \sqrt{ \frac{(\Delta t')^2 - (\Delta t)^2}{(\Delta t')^2} }[/tex3]

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[tex3]\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}} \;\; \rightarrow \;\; (\Delta t')^2 = \frac{(\Delta t)^2}{1- \frac{v^2}{c^2}} \;\; \rightarrow \;\; (\Delta t')^2.\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right) = (\Delta t)^2 \;\; \rightarrow \;\;\\\\ (\Delta t')^2- (\Delta t')^2.\frac{v^2}{c^2} = (\Delta t)^2 \;\; \rightarrow \;\; - (\Delta t')^2.\frac{v^2}{c^2} = (\Delta t)^2 - (\Delta t')^2\;\; \rightarrow \;\; \\\\ \frac{v^2}{c^2} = \frac{(\Delta t')^2 - (\Delta t)^2}{(\Delta t')^2} \;\; \rightarrow \;\; v^2 = c^2. \frac{(\Delta t')^2 - (\Delta t)^2}{(\Delta t')^2} \;\; \rightarrow \;\; v = \sqrt{c^2. \frac{(\Delta t')^2 - (\Delta t)^2}{(\Delta t')^2} } \;\; \rightarrow \;\;\\\\ v = c. \sqrt{ \frac{(\Delta t')^2 - (\Delta t)^2}{(\Delta t')^2} }[/tex3]

Substituindo os valores, [tex3]\Delta t' = 60 \;\; \text{e} \;\; \Delta t = 20[/tex3]

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[tex3]\Delta t' = 60 \;\; \text{e} \;\; \Delta t = 20[/tex3]

, temos:

[tex3]v = c. \sqrt{ \frac{(\Delta t')^2 - (\Delta t)^2}{(\Delta t')^2} } \;\; \rightarrow \;\; v = c. \sqrt{ \frac{60^2 - 20^2}{60^2} } = c. \sqrt{\frac{3600-400}{3600}} = c. \sqrt{\frac{3200}{3000}} \\\\ v = c. \sqrt{\frac{8}{9}} \;\; \rightarrow \;\; v = c. \frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex3]

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[tex3]v = c. \sqrt{ \frac{(\Delta t')^2 - (\Delta t)^2}{(\Delta t')^2} } \;\; \rightarrow \;\; v = c. \sqrt{ \frac{60^2 - 20^2}{60^2} } = c. \sqrt{\frac{3600-400}{3600}} = c. \sqrt{\frac{3200}{3000}} \\\\ v = c. \sqrt{\frac{8}{9}} \;\; \rightarrow \;\; v = c. \frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex3]