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Uma partícula pontual é lançada de um plano inclinado conforme esquematizado na figura abaixo. O plano tem um ângulo de inclinação teta em relação à horizontal, e a partícula é lançada, com velocidade de módulo v, numa direção que forma um ângulo de inclinação a em relação ao plano inclinado. Despreze
qualquer efeito da resistência do ar. Considere que a aceleração da gravidade local é constante (módulo igual a g , direção vertical, sentido para baixo).




A) Considerando o eixo x na horizontal, o eixo y na vertical e a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto de lançamento, determine as equações horárias das coordenadas da partícula, assumindo que o tempo é contado a partir do instante de lançamento.

b) Determine a equação da trajetória da partícula no sistema de coordenadas definido no item (A).

c) Determine a distância, ao longo do plano inclinado, entre o ponto de lançamento (ponto A) e o ponto no qual a partícula toca o plano inclinado (ponto B). Considere alfa =pi/ 12 e teta =pi/ 4 .

Olá.

Item A

Em relação à horizontal, a partícula tem um ângulo de lançamento [tex3](\alpha+\Theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\alpha+\Theta)[/tex3]

e descreverá uma trajetória parabólica com concavidade para baixo, conforme figura a seguir.



O alcance ao longo do plano inclinado é [tex3]d=\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]

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[tex3]d=\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]

. As coordenadas x e y do ponto B têm as seguintes equações horárias:


[tex3]x=[v.\cos (\alpha+\Theta)]t[/tex3]

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[tex3]x=[v.\cos (\alpha+\Theta)]t[/tex3]

(1)

[tex3]Y=[v.\sin (\alpha+\Theta)]t - \frac{1}{2}gt^2[/tex3]

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[tex3]Y=[v.\sin (\alpha+\Theta)]t - \frac{1}{2}gt^2[/tex3]

(2)

onde t é o tempo medido a partir do lançamento.

Item B

Calculando t na equação (1) e substituindo o resultado na equação (2), obtemos:

[tex3]y=[v.\sin (\alpha+\Theta)]\frac{x}{v.\cos (\alpha+\Theta)}-\frac{1}{2}g[\frac{x}{v.\cos (\alpha+\Theta)}]^2[/tex3]

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[tex3]y=[v.\sin (\alpha+\Theta)]\frac{x}{v.\cos (\alpha+\Theta)}-\frac{1}{2}g[\frac{x}{v.\cos (\alpha+\Theta)}]^2[/tex3]

(3)

Item C

As coordenadas x e y do ponto B também podem ser relacionadas pela equação

[tex3]y=[\tan \Theta]x[/tex3]

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[tex3]y=[\tan \Theta]x[/tex3]

(4)

Substituindo a equação (4) na equação (3), obtemos

[tex3]x=\frac{2v^2\cos^2 (\alpha+\Theta)}{g}[\tan (\alpha+\Theta)- \tan \Theta][/tex3]

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[tex3]x=\frac{2v^2\cos^2 (\alpha+\Theta)}{g}[\tan (\alpha+\Theta)- \tan \Theta][/tex3]

(5)

Portanto, usando-se a relação dada na equação (4), obtemos

[tex3]d=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2(1+\tan^2\Theta)}=\sqrt{x^2(\sec^2\Theta)}=x\sec \Theta=\frac{x}{\cos\Theta}[/tex3]

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[tex3]d=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2(1+\tan^2\Theta)}=\sqrt{x^2(\sec^2\Theta)}=x\sec \Theta=\frac{x}{\cos\Theta}[/tex3]

(6)

onde x é dado na equação (5). Logo, o alcance ao longo do plano inclinado é

[tex3]d=\frac{2v^2\cos^2(\alpha+\Theta)}{g\cos\Theta }[\tan (\alpha+\Theta)- \tan \Theta][/tex3]

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[tex3]d=\frac{2v^2\cos^2(\alpha+\Theta)}{g\cos\Theta }[\tan (\alpha+\Theta)- \tan \Theta][/tex3]

Substituindo os valores de [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

e [tex3]\Theta[/tex3]

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[tex3]\Theta[/tex3]

na equação acima, obtemos

[tex3]d=\frac{2v^2\cos^2(\frac{\Pi}{3})}{g\cos(\frac{\Pi}{4}) }[\tan(\frac{\Pi}{3})- \tan(\frac{\Pi}{4}) ][/tex3]

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[tex3]d=\frac{2v^2\cos^2(\frac{\Pi}{3})}{g\cos(\frac{\Pi}{4}) }[\tan(\frac{\Pi}{3})- \tan(\frac{\Pi}{4}) ][/tex3]

[tex3]\Longrightarrow d= \frac{\sqrt{2}v^2}{2g}[\sqrt{3}-1][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Longrightarrow d= \frac{\sqrt{2}v^2}{2g}[\sqrt{3}-1][/tex3]

Obs. Esta é a solução encontrada no gabarito da UFC 2007



J Francisco

Muito obrigado pela ajuda!