Física IUFC Tópico resolvido

Mecânica: Estática e Dinâmica

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Rayanne
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UFC

Mensagem não lida por Rayanne »

Uma partícula pontual é lançada de um plano inclinado conforme esquematizado na figura abaixo. O plano tem um ângulo de inclinação teta em relação à horizontal, e a partícula é lançada, com velocidade de módulo v, numa direção que forma um ângulo de inclinação a em relação ao plano inclinado. Despreze
qualquer efeito da resistência do ar. Considere que a aceleração da gravidade local é constante (módulo igual a g , direção vertical, sentido para baixo).


Imagem

A) Considerando o eixo x na horizontal, o eixo y na vertical e a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto de lançamento, determine as equações horárias das coordenadas da partícula, assumindo que o tempo é contado a partir do instante de lançamento.

b) Determine a equação da trajetória da partícula no sistema de coordenadas definido no item (A).

c) Determine a distância, ao longo do plano inclinado, entre o ponto de lançamento (ponto A) e o ponto no qual a partícula toca o plano inclinado (ponto B). Considere alfa =pi/ 12 e teta =pi/ 4 .

Última edição: Rayanne (Qua 16 Abr, 2008 21:31). Total de 1 vez.



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J Francisco
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Re: UFC

Mensagem não lida por J Francisco »

Olá.

Item A

Em relação à horizontal, a partícula tem um ângulo de lançamento [tex3](\alpha+\Theta)[/tex3] e descreverá uma trajetória parabólica com concavidade para baixo, conforme figura a seguir.

Imagem

O alcance ao longo do plano inclinado é [tex3]d=\sqrt{x^2+y^2}[/tex3] . As coordenadas x e y do ponto B têm as seguintes equações horárias:


[tex3]x=[v.\cos (\alpha+\Theta)]t[/tex3] (1)

[tex3]Y=[v.\sin (\alpha+\Theta)]t - \frac{1}{2}gt^2[/tex3] (2)

onde t é o tempo medido a partir do lançamento.

Item B

Calculando t na equação (1) e substituindo o resultado na equação (2), obtemos:

[tex3]y=[v.\sin (\alpha+\Theta)]\frac{x}{v.\cos (\alpha+\Theta)}-\frac{1}{2}g[\frac{x}{v.\cos (\alpha+\Theta)}]^2[/tex3] (3)

Item C

As coordenadas x e y do ponto B também podem ser relacionadas pela equação

[tex3]y=[\tan \Theta]x[/tex3] (4)

Substituindo a equação (4) na equação (3), obtemos

[tex3]x=\frac{2v^2\cos^2 (\alpha+\Theta)}{g}[\tan (\alpha+\Theta)- \tan \Theta][/tex3] (5)

Portanto, usando-se a relação dada na equação (4), obtemos

[tex3]d=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2(1+\tan^2\Theta)}=\sqrt{x^2(\sec^2\Theta)}=x\sec \Theta=\frac{x}{\cos\Theta}[/tex3] (6)

onde x é dado na equação (5). Logo, o alcance ao longo do plano inclinado é

[tex3]d=\frac{2v^2\cos^2(\alpha+\Theta)}{g\cos\Theta }[\tan (\alpha+\Theta)- \tan \Theta][/tex3]

Substituindo os valores de [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\Theta[/tex3] na equação acima, obtemos

[tex3]d=\frac{2v^2\cos^2(\frac{\Pi}{3})}{g\cos(\frac{\Pi}{4}) }[\tan(\frac{\Pi}{3})- \tan(\frac{\Pi}{4}) ][/tex3]

[tex3]\Longrightarrow d= \frac{\sqrt{2}v^2}{2g}[\sqrt{3}-1][/tex3]


Obs. Esta é a solução encontrada no gabarito da UFC 2007



J Francisco

Última edição: caju (Seg 13 Jan, 2020 00:39). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


s.m.j

A vida exige que devemos aprender sempre e nunca é tarde para recomeçar.

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magnusmanrik
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Re: UFC

Mensagem não lida por magnusmanrik »

Muito obrigado pela ajuda!




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