Olá.
Item A
Em relação à horizontal, a partícula tem um ângulo de lançamento [tex3](\alpha+\Theta)[/tex3]
e descreverá uma trajetória parabólica com concavidade para baixo, conforme figura a seguir.
O alcance ao longo do plano inclinado é [tex3]d=\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]
. As coordenadas
x e
y do ponto B têm as seguintes equações horárias:
[tex3]x=[v.\cos (\alpha+\Theta)]t[/tex3]
(1)
[tex3]Y=[v.\sin (\alpha+\Theta)]t - \frac{1}{2}gt^2[/tex3]
(2)
onde t é o tempo medido a partir do lançamento.
Item B
Calculando t na equação (1) e substituindo o resultado na equação (2), obtemos:
[tex3]y=[v.\sin (\alpha+\Theta)]\frac{x}{v.\cos (\alpha+\Theta)}-\frac{1}{2}g[\frac{x}{v.\cos (\alpha+\Theta)}]^2[/tex3]
(3)
Item C
As coordenadas x e y do ponto B também podem ser relacionadas pela equação
[tex3]y=[\tan \Theta]x[/tex3]
(4)
Substituindo a equação (4) na equação (3), obtemos
[tex3]x=\frac{2v^2\cos^2 (\alpha+\Theta)}{g}[\tan (\alpha+\Theta)- \tan \Theta][/tex3]
(5)
Portanto, usando-se a relação dada na equação (4), obtemos
[tex3]d=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2(1+\tan^2\Theta)}=\sqrt{x^2(\sec^2\Theta)}=x\sec \Theta=\frac{x}{\cos\Theta}[/tex3]
(6)
onde x é dado na equação (5). Logo, o alcance ao longo do plano inclinado é
[tex3]d=\frac{2v^2\cos^2(\alpha+\Theta)}{g\cos\Theta }[\tan (\alpha+\Theta)- \tan \Theta][/tex3]
Substituindo os valores de [tex3]\alpha[/tex3]
e [tex3]\Theta[/tex3]
na equação acima, obtemos
[tex3]d=\frac{2v^2\cos^2(\frac{\Pi}{3})}{g\cos(\frac{\Pi}{4}) }[\tan(\frac{\Pi}{3})- \tan(\frac{\Pi}{4}) ][/tex3]
[tex3]\Longrightarrow d= \frac{\sqrt{2}v^2}{2g}[\sqrt{3}-1][/tex3]
Obs. Esta é a solução encontrada no gabarito da UFC 2007
J Francisco
