Física I

Mensagem não lida por **παθμ** » 24 Abr 2024, 21:00

Um disco circular de massa [tex3]M[/tex3] no plano horizontal pode girar livremente sobre um eixo vertical fixo em um ponto B na borda do disco. Se um cachorro de massa [tex3]m,[/tex3] inicialmente no ponto B caminha uma volta pela borda do disco, mostre que o disco gira em relação a seu centro geométrico um ângulo [tex3]\theta[/tex3] dada pela expressão:

[tex3]\theta = \int_{0}^{\pi}d \gamma \frac{\cos^2(\gamma)}{K+\cos^2(\gamma)},[/tex3]

onde [tex3]K=\frac{3M}{8m}[/tex3] e [tex3]\gamma = \frac{\beta}{2}[/tex3] sendo [tex3]\beta[/tex3] o ângulo em relação ao centro geométrico percorrido pelo cachorro deste ponto fixo B. Isto é o ângulo [tex3]\theta[/tex3] depende somente da razão entre as massas do disco e do cachorro.

Mensagem não lida por **παθμ** » 24 Abr 2024, 21:00

Solução:

Considere que, inicialmente, o ponto B e o centro O do disco estão alinhados verticalmente. Daí, medimos os deslocamentos angulares partindo da vertical. No desenho abaixo, C é o ponto onde o cachorro está, e [tex3]\theta_c[/tex3] é sua posição angular:

: faee3ed9-320f-4686-a6ab-f1f026ce9513.jpg (26.33 KiB) Exibido 33 vezes

Como o triângulo BOC é isósceles, temos [tex3]\angle O \hat{B} C=90 \degree - \frac{\beta}{2},[/tex3] e portanto [tex3]\theta_c=\theta-\left(90 \degree - \frac{\beta}{2}\right)=\theta + \frac{\beta}{2}-90 \degree \Longrightarrow \dot{\theta_c}=\dot{\theta}+\frac{\dot{\beta}}{2}.[/tex3]

Sendo [tex3]r[/tex3] a distância do ponto B ao cachorro, o momento angular do cachorro em relação ao ponto B é [tex3]L_c=mr^2 \dot{\theta_c}=4R^2 \sin^2(\beta/2) m \dot{\theta}+2R^2 \sin^2(\beta/2)m \dot{\beta}.[/tex3]

Sabemos que o momento de inércia de um disco em relação ao centro é [tex3]\frac{MR^2}{2}.[/tex3] Pelo teorema dos eixos perpendiculares, o momento de inércia em relação ao ponto B é [tex3]\frac{MR^2}{2}+MR^2=\frac{3MR^2}{2},[/tex3] daí que o momento angular do disco é [tex3]L_d=\frac{3MR^2 \dot{\theta}}{2}.[/tex3]

O momento angular do sistema se conserva em relação ao eixo B (sendo igual a zero porque o sistema está inicialmente em repouso), então:

[tex3]L_c+L_d=0 \Longrightarrow -\left(3M+8m \sin^2(\beta/2)\right)\dot{\theta}=4m \sin^2(\beta/2) \dot{\beta}.[/tex3]

Cortando os dt's dos dois lados:

[tex3]d \theta = -\frac{4m \sin^2(\beta/2)}{3M+8 m \sin^2(\beta/2)} d \beta.[/tex3]

O sinal negativo significa que o disco gira no sentido oposto ao do cachorro. Redefinindo [tex3]\theta[/tex3] para o seu módulo, temos então, para uma volta completa ao redor do disco:

[tex3]\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{4m \sin^2(\beta/2)}{3M+8m\sin^2(\beta/2)}d \beta.[/tex3]

Fazendo a substituição [tex3]\gamma = \frac{\beta}{2} \Longrightarrow d \beta = 2 d \gamma[/tex3] (γ vai de 0 a π) e dividindo o numerador e denominador por [tex3]8m:[/tex3]

[tex3]\boxed{\theta = \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2(\gamma)}{K+\sin^2(\gamma)}d \gamma}[/tex3]

Obs 1: Esse problema foi extraído do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics".

Obs 2: Apesar do enunciado colocar cossenos na expressão ao invés de senos, as duas integrais são iguais.

Obs 3: O ângulo θ também é o ângulo que o disco gira em relação ao seu centro geométrico, mas simplesmente é muito mais conveniente usar o centro de rotação (o ponto B) como referência.

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