Física I

Raonidaz · Mensagem não lida por **Raonidaz** » 11 Mar 2024, 17:18

Preciso de ajuda nessa questão de vínculo geométrico.

No sistema mostrado na figura, todas as superfícies sãos lisas e ambas polias são ideias. O bloco na superfície inclinada da cunha A tem massa m. As massas de A e B são 4m e 2m, respectivamente. Encontre a aceleração da cunha A quando o sistema é liberado do repouso. Considere a gravidade local g, que o pedaço do fio conectado ao teto é vertical e sen[tex3]\theta [/tex3] = 3/5

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Gabarito: a = 6g/47

11 Mar 2024, 17:23

esse problema é bem esquisito mesmo.

Me parece que ao cair a massa m, a polia no bloco B irá se deslocar porque haverá uma inclinação do segmento vertical do fio.

Qual a fonte deste problema?

Raonidaz · Mensagem não lida por **Raonidaz** » 11 Mar 2024, 17:28

É exatamente esse vínculo que estou quebrando a cabeça. Tirei esse exercício de uma lista de questões de vínculo, como a maioria das questões é do livro do Arihant, de física, essa deve ser do mesmo lugar.

11 Mar 2024, 19:32

O jeito que eu encontrei pra resolver esse problema é usar o referencial não inercial da cunha, porque ai o bloquinho faz um movimento mais previsível com a cunha parada.

Cheguei no seguinte vínculo geométrico:

[tex3]\Delta x = \Delta x_B + \Delta hip[/tex3]

sendo: [tex3]\Delta x[/tex3] o quanto o bloquinho desceu sobre a cunha entre dois momentos quaisquer.
[tex3]\Delta x_B[/tex3] o quanto o bloco B se deslocou para a esquerda por conta deste puxão no fio.
[tex3]\Delta hip[/tex3] o quanto a distância entre a polia do bloco B e o ponto no qual o fio se prende ao teto (é a hipotenusa de um triângulo retângulo especial) variou.

Dividindo tudo por um [tex3]\Delta t[/tex3] e usando o limite do [tex3]\Delta t \to 0[/tex3] , obtemos o seguinte vínculo entre velocidades:

[tex3]v = v_B(1+ \frac{x_B}{\sqrt{x_B^2+h_0^2}})[/tex3]

derivando tudo em relação ao tempo obtemos o vínculo geométrico entre a aceleração do bloquinho e a aceleração do bloco B. No instante inicial, temos [tex3]x_B = 0[/tex3] . Veja que o problema é bem complexo para um instante genérico.

Problema bem difícil e interessante.

A expressão da aceleração do bloco B é:

[tex3]a = a_B(1+ \frac{x_B}{\sqrt{x_B^2+h_0^2}}) + v_B^2 \frac{h_0^2}{(h_0^2+x_B^2)^{\frac32}}[/tex3]

epa, temos um problema: o [tex3]h_0[/tex3] não some quando [tex3]x_B = 0[/tex3] , opa, mas [tex3]v_B=0[/tex3] no começo também né? Sem problemas.

11 Mar 2024, 19:58

bom então vamos fazer tudo vai: Tomando o referencial não inercial da cunha, podemos adicionar a aceleração fictícia [tex3]a_A[/tex3] para a esquerda e tratar o sistema como se a cunha estivesse parada.

Equações do bloquinho:

[tex3]ma_A \sen (\theta) + N = mg \cos(\theta)[/tex3]
[tex3]ma_A \cos(\theta) + m g \sen (\theta) - T = m a[/tex3]

Equação da cunha:
[tex3]N \sen (\theta) + T(1-\cos(\theta)) = m_A a_A[/tex3]

Equação do bloco B no instante inicial:
[tex3]m_B a_A + T = m_Ba_B = m_Ba[/tex3]

Vamos sumir com a normal multiplicando a equação do bloquinho por [tex3]-\sen (\theta)[/tex3] e somando com a equação da cunha:

[tex3]T(1-\frac 45) -ma_A \frac 9{25} = 4ma_A -mg \frac{12}{25} \iff[/tex3]
[tex3]5T-9ma_A = 100ma_A -12mg \iff 5T = 109ma_A-12mg[/tex3]

vamos substituir esse [tex3]5T[/tex3] nas equações que sobraram:

[tex3]ma_A 4 + mg 3 - 5T = 5ma \iff 4ma_A +3mg +12mg - 109ma_A = 5ma \iff [/tex3]
[tex3]\iff 5ma = 15mg -105 ma_A \iff a = 3g - 21a_A[/tex3]

e

[tex3]5m_B a_A + 5T = 5m_Ba \iff 10ma_A +109ma_A - 12mg = 10ma[/tex3]
[tex3]119ma_A - 12mg = 10ma \iff 10a = 119a_A -12g = 10(3g-21a_A)[/tex3]

por fim:
[tex3]119a_A -12g = 30g - 210a_A \iff a_A(329) = 42g \iff 47 a_A = 6g \iff a_A = \frac{6g}{47}[/tex3]

como deu no gabarito :^) fácil?

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