Física I ⇒ (UFPI - 2023) Colisão

[quantumboy]

Uma esfera lisa de massa M está amarrada a um ponto fixo por um fio leve e inextensível. Outra esfera de massa m com velocidade inicial v1 em uma direção que forma um ângulo teta com a corda, causa impacto direto com M (ver figura). Encontre a velocidade com a qual M começa a se mover após a colisão. O coeficiente de restituição é e.


Figura em anexo

[παθμ]

quantumboy, a direção da colisão é aquela na qual ocorre a troca de forças:

9f497d82-51e2-4f0c-b7d2-06984b38f90e.jpg (18.4 KiB) Exibido 122 vezes

Por causa do fio, a massa M só pode adquirir velocidade na direção horizontal, por isso o momento linear que ela adquire, horizontal, é [tex3]\int F \sin(\theta) dt,[/tex3]

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[tex3]\int F \sin(\theta) dt,[/tex3]

enquanto a variação do momento linear da massa m é [tex3]\int F dt[/tex3]

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[tex3]\int F dt[/tex3]

(em módulo).

Por isso, [tex3]\Delta p_M= \Delta p_m \sin(\theta)[/tex3]

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[tex3]\Delta p_M= \Delta p_m \sin(\theta)[/tex3]

(as variações estão em módulo)

[tex3]\Delta p_M= Mv_2, \; \; \Delta p _{m}=m(v_1-v_1') \Longrightarrow M v_2 = m(v_1-v_1') \sin(\theta) \Longrightarrow v_1'=v_1- \frac{Mv_2}{m \sin(\theta)}.[/tex3]

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[tex3]\Delta p_M= Mv_2, \; \; \Delta p _{m}=m(v_1-v_1') \Longrightarrow M v_2 = m(v_1-v_1') \sin(\theta) \Longrightarrow v_1'=v_1- \frac{Mv_2}{m \sin(\theta)}.[/tex3]

Além disso, o coeficiente de restituição é definido usando as velocidades relativas na linha de colisão. Ou seja, a velocidade relativa de afastamento é [tex3]v_2 \sin(\theta)-v_1',[/tex3]

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[tex3]v_2 \sin(\theta)-v_1',[/tex3]

e temos [tex3]e=\frac{v_2 \sin(\theta)-v_1'}{v_1}.[/tex3]

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[tex3]e=\frac{v_2 \sin(\theta)-v_1'}{v_1}.[/tex3]

Substituindo [tex3]v_1':[/tex3]

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[tex3]v_1':[/tex3]

[tex3]v_2 \sin(\theta)-v_1+\frac{Mv_2}{m \sin(\theta)}=ev_1 \Longrightarrow \boxed{v_2=\frac{(1+e)m \sin(\theta)}{M+m\sin^2(\theta)}v_1} [/tex3]

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[tex3]v_2 \sin(\theta)-v_1+\frac{Mv_2}{m \sin(\theta)}=ev_1 \Longrightarrow \boxed{v_2=\frac{(1+e)m \sin(\theta)}{M+m\sin^2(\theta)}v_1} [/tex3]

Exercício adicional pra você: mostre que, quando [tex3]e=1,[/tex3]

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[tex3]e=1,[/tex3]

não há perda de energia na colisão (como era de se esperar, pois seria uma colisão elástica).