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Dois ciclistas partem ao mesmo tempo de [tex3]A[/tex3] em direção a [tex3]B[/tex3] com velocidades diferentes porém constantes. Ao alcançarem [tex3]B[/tex3] voltam imediatamente a [tex3]A[/tex3] . O primeiro ciclista deixou para trás o segundo e o encontrou no caminho de volta a [tex3]a[/tex3] km de [tex3]B[/tex3] . Logo depois de alcançar [tex3]A[/tex3] e voltando para [tex3]B,[/tex3] o primeiro encontra o segundo depois de percorrer uma [tex3]k[/tex3] -ésima parte da distância entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]B.[/tex3] Achar a distância entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]B.[/tex3]

como as velocidades são constantes, as distãncias percorridas são proporcionais.

chamando de x a distância que se deseja achar:

antes do primeiro encontro, o mais rapido percorre x+a e o mais devagar percorre x-a. ate o segundo encontro, o primeiro percorre uma distancia de 2x+x/k e o segundo percorreu x/k

como as distâncias percorridas são proporcionais:

[tex3]\frac{x+a}{x-a}=\frac{\frac{2kx+x}{k}}{\frac{x}{k}}[/tex3]

[tex3]\frac{x+a}{x-a}=2k+1[/tex3]

[tex3]x+a=2kx+x-2ka-a[/tex3]

[tex3]2kx=2ka+2a[/tex3]
[tex3]x=\frac{ka+a}{k}=a.\frac{k+1}{k}[/tex3]

Caro Eduardo,a resposta que o livro me dá para este problema é 2ak.
Abraços,José Carlos

hum, na verdade eu não havia errado, apenas chamei a constante k de modo errado... a constante k que eu fiz esta invertida (isso se deve ao fato de uma interpretacao errada da minha parte pois chamei a k-esima parte da distancia de x/k ao inves de x.k,entao basta substituir o k por 1/k, obrigado por ter me alertado ao fato)

mas mesmo assim a resposta do seu livro esta errado. após inverter a constante k por 1/k (em qualquer ponto do exercicio... nao faz diferença)

acha se a resposta correta ak + a (que eu posso provar que esta correta.) quanto a resposta do seu livro 2ak so funciona quando k = 1 (se k = 1, ak+a = 2ak, por isso ela funciona) e isso eu tambem posso provar.

se quiser fazê-lo basta utilizar valores ficticios para confirmar. por exemplo suponha que a distancia seja 10 e eles se encontraram pela primeira vez 1 km apos A (entao a = 9) vera que o valor para k sera 1/9 fazendo com que 2ak seja diferente de 10 (mas ak +a = 10)

k so e igual a 1 quando a = x/2 ou seja eles se encontram pela primeira vez na metade do caminho.. para qualquer outro momento a resposta do seu livro da errado.

bom, caso queira alguma dessas provas (mas se jogar valores para x e a e achar k, qualquer valor de a que jogar que nao seja x/2 vai achar um k que invalida a resposta do seu livro, mas nao invalida ak+a, o que ja deve ser suficiente para voce acreditar) basta pedir.

Olá Eduardo

Só aproveitando o seu tópico pra fazer uma pergunta, podemos dizer q k=2a ? Pois do jeito que eu estava interpretando o exercício isso sempre será verdadeiro.

t+

hum acho que minha explicacao ficou confusa pois k=2a e muito dificil de acontecer.. espero que queira dizer x = 2a caso seja isso, nao.

x=2a e um caso especial onde a resposta do livro esta certa deixa eu dar um exemplo:

x e a distancia de A a B

vamos supor que fosse 10.

se a = 5, entao eles se encontram pela primeira vez no km 5 ou seja: o primeiro pedalou ate B e voltou mais 5 kilometros (10+5), e o segundo pedalou 5 kilometros (ou seja o primeiro andou x+a e o segundo x-a). note que a velocidade do primeiro e tres vezes a do segundo

o k e a fracao de x que o segundo andou da proxima vez que eles se encontram:
entao o primeiro volta ate A (ele anda mais 5 kilometros, portanto o proximo anda 5/3 de kilometro) ou seja quando o primeiro chega em A, o segundo esta em 5+5/3km = 20/3. fazendo se os calculos, percebe-se que eles vao encontrar da proxima vez so no kilometro 10 (o primeiro anda 10 kilometros e o segundo anda 10/3) entao k = 10(o quanto que o segundo andou)/10(valor de x) ou seja 1.

entao para a=5 e k=1 a resposta e ak+a = 5+5 = 10(que realmente é a distância que dissemos ser), e nesse caso, ak+a = 2ka (pois k vale 1)

agora um exemplo diferente:

x=10 e a =6

entao o primeiro andou 16km ate se encontrar com o segundo que havia andado 4 (a sua velocidade e 4 vezes maior) entao ate o primeiro chegar de volta a A, o segundo ele andou 4km entao o segundo andou 1. da segunda vez que se encontram o segundo havia andado mais 5/3 (5+5/3=20/3) de quilometro e o primeiro 20/3 encontrando-se ambos em 20/3 do trajeto. ou seja k = (20/3)/10 = 2/3.

entao usando a minha formula de a e k para calcular x: ak+a = 6*2/3+6=10 e usando a formula do livro: 2*k*a = 2*6*2/3 = 8 (ou seja ela esta errada)

mas tudo isso e desnecessario para o exercicio em questao: podemos mostrar que 2ka esta errado da seguinte maneira:

como as velocidades sao constantes as distancias percorridas sao proporcionais

ate primeiro encontro o primeiro anda x+a e o segundo x-a

ate o segundo encontro o primeiro anda 2x + kx e o segundo kx. portanto:

[tex3]\frac{x+a}{x-a}=\frac{2x+kx}{kx}[/tex3]

simplificando (dividindo o segundo lado por x em cima e embaixo) e substituindo x=2ka:

[tex3]\frac{2ka+a}{2ka-a}=\frac{2+k}{k}[/tex3]

[tex3](2ka+a).(k)=(2+k).(2ka-a)[/tex3]

[tex3]2k^2a+ak=4ka-2a+2k^2a-ka[/tex3]

[tex3]2a=2ka[/tex3]

o que so e valido para k=1, e consequentemente quando 2a=x (pois 2ka=x)

e para mostrar que ak+a esta correto:

como as velocidades sao constantes as distancias percorridas sao proporcionais

ate primeiro encontro o primeiro anda x+a e o segundo x-a

ate o segundo encontro o primeiro anda 2x + kx e o segundo kx. portanto:

[tex3]\frac{x+a}{x-a}=\frac{2x+kx}{kx}[/tex3]

simplificando (dividindo o segundo lado por x em cima e embaixo) e substituindo x=ka+a:

[tex3]\frac{ak+a+a}{ak+a-a}=\frac{2+k}{k}[/tex3]

[tex3](ak + 2a).(k)=(2+k).(ak)[/tex3]

[tex3]k^2a+2ak=2ak+k^2a[/tex3]

C.Q.D

desculpem os varios posts e a confusao... e que odeio resposta errada em livro... sempre da merda

Olá Eduardo!

Pois é, eu tinha interpretado mal o exercício, na parte do k que é uma fração do x, eu usei k como sendo uma distância de A até o ponto de encontro, dai tinha achado k=2a, mas agora olhando a sua resolução tá tudo claro, refiz com alguns valores e fechou direitinho, acho q tá mais do que provado que a resposta do livro está com problema.

t+

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