Física I ⇒ Leis de Kepler e Gravitação Universal Tópico resolvido

[Joilson]

Prove que a constante de Kepler [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

é dada por [tex3]\dfrac{4\pi^2}{G(M+m)}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{4\pi^2}{G(M+m)}[/tex3]

, onde [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

é a massa do planeta e [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

a massa do sol.

[jpedro09]

Utilizando massa reduzida para o sistema Planeta e Sol e adotando o Sol como referencial, temos a massa reduzida localizada no Centro de Massa do sistema, logo, o planeta vai girar em torno do CM.

[tex3]R'=\frac{m}{M+m}R [/tex3]

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[tex3]R'=\frac{m}{M+m}R [/tex3]

[tex3]F_{cp}=F_{g}\rightarrow \frac{mv^{2}}{R'}=\frac{Gm(M+m)}{R'^{2}}\rightarrow \frac{4\pi^{2}R'^{2}}{T^{2}R'}=\frac{G(M+m)}{R'^{2}}[/tex3]

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[tex3]F_{cp}=F_{g}\rightarrow \frac{mv^{2}}{R'}=\frac{Gm(M+m)}{R'^{2}}\rightarrow \frac{4\pi^{2}R'^{2}}{T^{2}R'}=\frac{G(M+m)}{R'^{2}}[/tex3]

[tex3]\frac{T^{2}}{R'^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{G(M+m)}[/tex3]

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[tex3]\frac{T^{2}}{R'^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{G(M+m)}[/tex3]