Três cilindros idênticos com seus eixos paralelos estão sobre uma superfície áspera, sendo dois cilindros ficando na parte de baixo e o terceiro apoiado sobre os dois cilindros, vide figura abaixo. Determine o ângulo mínimo que a direção da força agindo entre a superfície e o cilindro faz com o eixo vertical.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Física I ⇒ (SOIF 2016) Estática Tópico resolvido
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Abr 2024
24
14:43
Re: (SOIF 2016) Estática
Solução:
Diagrama de forças para o cilindro de cima (f é a força de atrito, N2 é a normal):
O ângulo que [tex3]N_2[/tex3] faz com a vertical é [tex3]30 \degree,[/tex3] e o que [tex3]f[/tex3] faz é [tex3]60 \degree.[/tex3]
Equilíbrio na vertical: [tex3]mg=2N_2 \cos(30 \degree) + 2f \cos(60 \degree) \Longrightarrow \sqrt{3} N_2+f=mg.[/tex3]
Diagrama de forças para um cilindro de baixo (o da esquerda, por exemplo) (N1 é a normal com o chão, N3 é a normal entre os dois cilindros de baixo):
Note que a força de atrito no chão deve ser [tex3]f,[/tex3] para garantir o equilíbrio rotacional.
Equilíbrio na vertical: [tex3]N_1=mg+N_2 \cos(30 \degree)+f \cos(60 \degree) \Longrightarrow N_1=\frac{3mg}{2}.[/tex3]
Equilíbrio na horizontal: [tex3]f+f \sin(60 \degree)=N_2 \sin(30 \degree)+N_3 \Longrightarrow \frac{(2+\sqrt{3})f}{2}=\frac{N_2}{2}+N_3.[/tex3]
Usando [tex3]N_2=\frac{mg-f}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(mg-f)}{3}:[/tex3]
[tex3]f+\frac{\sqrt{3}f}{2}=\frac{\sqrt{3}mg}{6}-\frac{\sqrt{3}f}{6}+N_3 \Longrightarrow \frac{(3+2\sqrt{3})f}{3}=\frac{\sqrt{3}mg}{6}+N_3.[/tex3]
Para minimizar o ângulo que a força com o chão faz com a vertical, queremos minimizar [tex3]f,[/tex3] e isso é atingido com [tex3]N_3=0,[/tex3] então:
[tex3]f=\frac{\sqrt{3}mg}{2(3+2\sqrt{3})}=\frac{(2-\sqrt{3})mg}{2}.[/tex3]
[tex3]\tan(\theta)=\frac{f}{N_1}=\frac{2-\sqrt{3}}{3} \Longrightarrow \boxed{\theta= \arctan\left(\frac{2-\sqrt{3}}{3}\right)}[/tex3]
Obs: Essa questão foi extraída do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics"
Diagrama de forças para o cilindro de cima (f é a força de atrito, N2 é a normal):
O ângulo que [tex3]N_2[/tex3] faz com a vertical é [tex3]30 \degree,[/tex3] e o que [tex3]f[/tex3] faz é [tex3]60 \degree.[/tex3]
Equilíbrio na vertical: [tex3]mg=2N_2 \cos(30 \degree) + 2f \cos(60 \degree) \Longrightarrow \sqrt{3} N_2+f=mg.[/tex3]
Diagrama de forças para um cilindro de baixo (o da esquerda, por exemplo) (N1 é a normal com o chão, N3 é a normal entre os dois cilindros de baixo):
Note que a força de atrito no chão deve ser [tex3]f,[/tex3] para garantir o equilíbrio rotacional.
Equilíbrio na vertical: [tex3]N_1=mg+N_2 \cos(30 \degree)+f \cos(60 \degree) \Longrightarrow N_1=\frac{3mg}{2}.[/tex3]
Equilíbrio na horizontal: [tex3]f+f \sin(60 \degree)=N_2 \sin(30 \degree)+N_3 \Longrightarrow \frac{(2+\sqrt{3})f}{2}=\frac{N_2}{2}+N_3.[/tex3]
Usando [tex3]N_2=\frac{mg-f}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(mg-f)}{3}:[/tex3]
[tex3]f+\frac{\sqrt{3}f}{2}=\frac{\sqrt{3}mg}{6}-\frac{\sqrt{3}f}{6}+N_3 \Longrightarrow \frac{(3+2\sqrt{3})f}{3}=\frac{\sqrt{3}mg}{6}+N_3.[/tex3]
Para minimizar o ângulo que a força com o chão faz com a vertical, queremos minimizar [tex3]f,[/tex3] e isso é atingido com [tex3]N_3=0,[/tex3] então:
[tex3]f=\frac{\sqrt{3}mg}{2(3+2\sqrt{3})}=\frac{(2-\sqrt{3})mg}{2}.[/tex3]
[tex3]\tan(\theta)=\frac{f}{N_1}=\frac{2-\sqrt{3}}{3} \Longrightarrow \boxed{\theta= \arctan\left(\frac{2-\sqrt{3}}{3}\right)}[/tex3]
Obs: Essa questão foi extraída do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics"
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