Ensino Superior

Resolva os itens a e b:

(a) Determine a transformação linear T : [tex3]\mathbb{R}^2[/tex3] [tex3]\rightarrow \mathbb{R}^3[/tex3] tal que T(-1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, 1) = (1, 1, 0)

(b) Encontre v [tex3]\in \mathbb{R}^2[/tex3] tal que T(v) = (-2, 1, -3)

[tex3]T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3[/tex3] transformação linear.
[tex3]T(-1,1)=(3,2,1)[/tex3] e [tex3]T(0,1)=(1,1,0)[/tex3]

[tex3](1,0)=-[(-1,1)-(0,1)][/tex3] e [tex3]T[/tex3] linear [tex3]\implies T(1,0)=-[T(-1,1)-T(0,1)]=-[(3,2,1)-(1,1,0)]=-(2,1,1)=(-2,-1,-1)[/tex3]

Dessa forma, [tex3]T(x,y)=xT(1,0)+yT(0,1)=x(-2,-1,-1)+y(1,1,0)=(-2x+y,-x+y,-x)[/tex3]

Queremos encontrar [tex3]v=(x,y)\in\mathbb R^3[/tex3] tal que [tex3]T(x,y,z)=(-2,1,-3).[/tex3]
[tex3]\implies (-2x+y,-x+y,-x)=(-2,1,-3)\\
\implies \begin{cases}-2x+y=-2\\
-x+y=1\\-x=3\end{cases}[/tex3]
Somando as duas últimas equações temos [tex3]-2x+y=4[/tex3] e da primeira equação, temos [tex3]-2x+y=-2[/tex3] , como [tex3]4\ne-2[/tex3] temos que não existe [tex3](x,y)\in\mathbb R^2[/tex3] que satisfaça o sistema.
Ou seja, não existe [tex3]v\in\mathbb R^2[/tex3] tal que [tex3]T(v)=(-2,1,-3)[/tex3] .

Espero ter ajudado.

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