Ensino Superior

Dentre as transformações T : [tex3]\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R^2}[/tex3] definidas pelas seguintes leis, verifique quais são lineares:

(a) T(x, y) = (x − 3y, 2x + 5y)

(b) T(x, y) = ([tex3]x^{2}, y^{2}[/tex3])

(c) T(x, y) = (x + 1, y)

(d) T(x, y) = (3y, −2x)

a)[tex3]T(x, y) = (x − 3y, 2x + 5y)[/tex3]

[tex3]T((x+y)+(z+w))=T(x+z,y+w)=\\
(x+z-3(y+w),2(x+z)+5(y+w))=\\(x+z-3y-3w,2x+2z+5y+5w)=\\(x − 3y, 2x + 5y)+(z-3w,2z_5w)=\\
T(x,y)+T(z,w)[/tex3]

[tex3]T(\mu(x,y))=\\T(\mu x,\mu y)=\\(\mu x-2\mu y,2\mu x+5\mu y)=\\\mu(x-2y,2x+5y)=\\\mu T(x,y)[/tex3]

Portanto, [tex3]T[/tex3] é linear.
---------------------------------------------------------------

b)[tex3]T(1,0)=(1^2,0^2)=(1,0)\\
T(2,0)=(2^2,0^2)=(4,0)\\
2T(1,0)=2(1,0)=(2,0)\ne (4,0)\\
\implies T(2(1,0))\ne 2T(1,0)[/tex3]

Portanto, [tex3]T[/tex3] não é linear.
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c)Sendo [tex3]S[/tex3] uma função linear temos que [tex3]S(0)=S(0v)=0S(v)=0[/tex3] , ou seja, uma aplicação linear calculada no vetor nulo do domínio é o vetor nulo da contradomínio.

[tex3]T(x,y)=(x+1,y)\\
T(0,0)=(1,0)\ne(0,0)[/tex3]

Portanto, [tex3]T[/tex3] não é linear.
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d)[tex3]T(x, y) = (3y, −2x)[/tex3]

[tex3]T((x,y)+(z,w))=\\T(x+z,y+w)=\\(3(x+z),-2(y+w))=\\
(3x+3z,-2y-2w)=\\(3x,-2y)+(3z,-2w)=\\ T(x,y)+T(z,w)[/tex3]

[tex3]T(\mu(x,y))=\\T(\mu x,\mu y)=\\
(3\mu x-2\mu y)=\\\mu (3x,-2y)=\\
\mu T(x,y)[/tex3]

Portanto, [tex3]T[/tex3] é linear.

Espero ter ajudado.

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