Ensino Superior ⇒ Sequência de números reais - Analise Real Tópico resolvido

[Deleted User 28057]

Verificar a convergência das sequências a seguir, e caso afirmativo, encontre o limite (justificando sua resposta).
([tex3]x_{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{n}[/tex3]

)[tex3]_{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]_{n}[/tex3]

= (1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, · · ·).

[deOliveira]

A sequência pode ser reescrita como
[tex3]x_{k,n}=\frac kn[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{k,n}=\frac kn[/tex3]

em que [tex3]n\in\mathbb N[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n\in\mathbb N[/tex3]

e [tex3]k< n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k< n[/tex3]

.

Dessa forma, temos que [tex3](y_n)=(x_{1,n})=(1/n)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](y_n)=(x_{1,n})=(1/n)[/tex3]

é subsequência de [tex3](x_n)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x_n)[/tex3]

e [tex3]y_n=\frac1n\to 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y_n=\frac1n\to 0[/tex3]

.

Além disso, temos também que [tex3](z_n)=(x_{n,2n})=\(\frac n{2n}\)=\(\frac 12\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](z_n)=(x_{n,2n})=\(\frac n{2n}\)=\(\frac 12\)[/tex3]

é outra subsequência de [tex3](x_n)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x_n)[/tex3]

e como essa sequência é constante temos que [tex3]z_n=\frac12\to \frac12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z_n=\frac12\to \frac12[/tex3]

.

Portanto, encontramos duas subsequências de [tex3](x_n)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x_n)[/tex3]

que convergem para limites distintos. Daí, podemos concluir que [tex3](x_n)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x_n)[/tex3]

é uma sequência divergente.

Espero ter ajudado.