Eu comecei a desenvolver usando a definição,
[tex3]f'(p)=\lim_{x \rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=\lim_{x \rightarrow p}\frac{x(4-x)-p(4-p)}{x-p}[/tex3] , mas não consegui avançar dessa parte.
Resposta
[tex3]-2x+4[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Cálculo - Derivadas
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
Nekololikuro 
- Mensagens: 89
- Registrado em: Qua 16 Jun, 2021 15:25
- Última visita: 17-02-23
- Localização: Belo Horizonte
Dez 2021
08
11:05
Cálculo - Derivadas
Dado [tex3]f(x)=4x-x^{2}[/tex3]
, calcule [tex3]f'(x)[/tex3]
usando a definição de derivada.
Eu comecei a desenvolver usando a definição,
[tex3]f'(p)=\lim_{x \rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=\lim_{x \rightarrow p}\frac{x(4-x)-p(4-p)}{x-p}[/tex3] , mas não consegui avançar dessa parte.
[tex3]-2x+4[/tex3]
Eu comecei a desenvolver usando a definição,
[tex3]f'(p)=\lim_{x \rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=\lim_{x \rightarrow p}\frac{x(4-x)-p(4-p)}{x-p}[/tex3] , mas não consegui avançar dessa parte.
[tex3]-2x+4[/tex3]
Dez 2021
08
11:34
Re: Cálculo - Derivadas
Você não está confundindo a definição de derivada? Ela geralmente é dada por:
[tex3]f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex3]
Daí, se [tex3]f(x)=4x-x^2[/tex3] :
[tex3]f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{[4(x+h)-(x+h)^2] - [4x-x^2]}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4x+4h-x^2-2xh-h^2-4x+x^2)}{h} [/tex3]
Simplificando:
[tex3]= \lim_{h \to 0} \frac{-2xh+4h-h^2}{h} = \lim_{h \to 0} -2x+4-h = \boxed{-2x+4} [/tex3]
[tex3]f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex3]
Daí, se [tex3]f(x)=4x-x^2[/tex3] :
[tex3]f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{[4(x+h)-(x+h)^2] - [4x-x^2]}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4x+4h-x^2-2xh-h^2-4x+x^2)}{h} [/tex3]
Simplificando:
[tex3]= \lim_{h \to 0} \frac{-2xh+4h-h^2}{h} = \lim_{h \to 0} -2x+4-h = \boxed{-2x+4} [/tex3]
Dez 2021
08
12:02
Re: Cálculo - Derivadas
Depois de matutar um pouco, a definição de derivada que você está usando não está errada (ela representa de fato a derivada, conceitualmente), mas não é possível calcular a derivada a partir dela (pelo menos não nesse caso) pois o denominador da fração tende a zero mas não pode ser cancelado com o numerador (que é como se esquiva do zero no denominador com a definição que eu usei). Note que a definição que eu usei trata-se da derivada em função da diferença [tex3]h[/tex3]
entre o que na sua definição seria [tex3]x[/tex3]
e [tex3]p[/tex3]
, levando essa diferença a zero (ou seja, o limite no qual [tex3]x[/tex3]
aproxima [tex3]p[/tex3]
, assim [tex3]x-p[/tex3]
tende a zero, como na sua). Como na minha definição [tex3]h[/tex3]
é um fator comum após as simplificações, é possível cancelar o denominador.
Em adendo, na sua definição, note que no ponto em que você chegou no cálculo há um fator "pseudo-comum", pois ambos os termos no numerador contém [tex3][4-(x \text{ ou } p)][/tex3] , ou seja, se [tex3]x=p[/tex3] , poderíamos fatorar em [tex3](x-p)(4-x)[/tex3] , mas é claro que não se pode tirar o limite de uma incógnita em apenas um membro, então esse limite levaria ao caso [tex3]\frac{0}{0}[/tex3] , que representa um limite indeterminado. Ilustrando esse fato de que não se pode tirar um limite seletivo desta forma, se ignoramos isso e cancelamos o denominador com o fator igual no numerador, obtemos [tex3]f'(x)=4-x[/tex3] , o que é incorreto.
tl;dr: a formula que você usou faz sentido, mas causa problemas no cálculo da derivada em si.
Em adendo, na sua definição, note que no ponto em que você chegou no cálculo há um fator "pseudo-comum", pois ambos os termos no numerador contém [tex3][4-(x \text{ ou } p)][/tex3] , ou seja, se [tex3]x=p[/tex3] , poderíamos fatorar em [tex3](x-p)(4-x)[/tex3] , mas é claro que não se pode tirar o limite de uma incógnita em apenas um membro, então esse limite levaria ao caso [tex3]\frac{0}{0}[/tex3] , que representa um limite indeterminado. Ilustrando esse fato de que não se pode tirar um limite seletivo desta forma, se ignoramos isso e cancelamos o denominador com o fator igual no numerador, obtemos [tex3]f'(x)=4-x[/tex3] , o que é incorreto.
tl;dr: a formula que você usou faz sentido, mas causa problemas no cálculo da derivada em si.
Última edição: ragefloyd (Qua 08 Dez, 2021 12:09). Total de 2 vezes.
-
snooplammer 
- Mensagens: 1701
- Registrado em: Seg 24 Out, 2016 14:18
- Última visita: 17-04-24
Dez 2021
08
12:14
Re: Cálculo - Derivadas
Se as definições são equivalentes, por que uma dá problema e a outra não? Seu argumento faz sentido? Definições equivalentes deveriam chegar em um mesmo resultado, né? Pense sobre isso.ragefloyd escreveu: ↑Qua 08 Dez, 2021 12:02Depois de matutar um pouco, a definição de derivada que você está usando não está errada (ela representa de fato a derivada, conceitualmente), mas não é possível calcular a derivada a partir dela (pelo menos não nesse caso) pois o denominador da fração tende a zero mas não pode ser cancelado com o numerador (que é como se esquiva do zero no denominador com a definição que eu usei). Note que a definição que eu usei trata a derivada em função da diferença [tex3]h[/tex3] entre o que na sua definição seria [tex3]x[/tex3] e [tex3]p[/tex3] e leva essa diferença a zero (ou seja, o limite no qual [tex3]x[/tex3] aproxima [tex3]p[/tex3] , assim [tex3]x-p[/tex3] tende a 0, como na sua). Como na minha definição [tex3]h[/tex3] é um fator comum após as simplificações, é possível cancelar o denominador.
Em adendo, na sua definição, note que no ponto em que você chegou no cálculo há um fator "pseudo-comum", pois ambos os termos no numerador contém [tex3][4-(x \text{ ou } p)][/tex3] , ou seja, se [tex3]x=p[/tex3] , poderíamos fatorar em [tex3](x-p)(4-x)[/tex3] , mas é claro que não se pode tirar o limite de uma incógnita em apenas um membro, então esse limite levaria ao caso [tex3]\frac{0}{0}[/tex3] , que representa um limite indeterminado.
tl;dr: a formula que você usou faz sentido, mas causa problemas no cálculo da derivada em si.
Eu irei deixar em spoiler a forma pra resolver usando a definição do [tex3]x \rightarrow p[/tex3] , que também é só manipulação algébrica.
Resposta
[tex3]\lim_{x \rightarrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} = \frac{4x - x^2 -(4p - p^2)}{x - p} = \frac{4(x - p) + p^2 - x^2}{x - p} = \frac{4(x- p)+(p - x)(p + x)}{x - p} = 4 - (p + x)[/tex3]
Como x tende a p, [tex3]f'(x) = 4 - 2x[/tex3]
Última edição: snooplammer (Qua 08 Dez, 2021 12:16). Total de 1 vez.
Dez 2021
08
12:20
Re: Cálculo - Derivadas
snooplammer De fato, erro meu não perceber essa fatoração. Obrigado por esclarecer. Como em casos em que o limite resulta em 0/0 geralmente precisa-se encontrar uma forma de esquivar isso, supus que o uso dessa definição simplesmente tinha esse problema. Não sei afirmar algo tão geral como se definições equivalentes invariavelmente chegam ao mesmo resultado e são sempre possíveis de se usar para todo caso.
Última edição: ragefloyd (Qua 08 Dez, 2021 12:24). Total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 0 Respostas
- 552 Exibições
-
Última msg por WBQ
-
- 2 Respostas
- 470 Exibições
-
Última msg por neonexe
-
- 2 Respostas
- 589 Exibições
-
Última msg por Flamengoool
-
- 1 Respostas
- 266 Exibições
-
Última msg por Joander
-
- 1 Respostas
- 282 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
