Ensino Superior ⇒ Volume de um solido pela integral

[Aldruz]

Determine o volume do sólido dado:

Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo de vértices (1, 1), (4,1)e(1,2).

Resposta

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resposta : 31/8

[AlexandreHDK]

Como não foi dado a coordenada z dos vértices, irei assumir que o triângulo se encontra no plano xy.
Bom, para calcular este volume, ele é basicamente a integral de 1 com os seguintes limites de integração:
0 ≤ z ≤ xy
1 ≤ y ≤ (7-x)/3
1 ≤ x ≤ 4
Os limites de z saem quase que direto do enunciado.
O triângulo formado pelos vértices dados é um triângulo retângulo, e pode-se encontrar a equação da reta que passa pela hipotenusa e desta reta mais o cateto paralelo ao eixo x sai os limites de y. Os limites de x saem dos extremos deste mesmo cateto.
Assim, basta calcular:
[tex3]V=\int_1^4\int_1^{\frac{7-x}{3}}\int_0^{xy}1dzdydx \stackrel{\text{wolframalpha}}{=} \frac{31}{8}[/tex3]

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[tex3]V=\int_1^4\int_1^{\frac{7-x}{3}}\int_0^{xy}1dzdydx \stackrel{\text{wolframalpha}}{=} \frac{31}{8}[/tex3]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... C1%3Cx%3C4