Ensino Superior ⇒ Sobre noções de derivadas

[lmtosta]

Bom dia pessoal.

Imaginemos 2 funções distintas quaisquer:

a) f(u) = u^1/2 (u elevado a 1/2)

b) f(x) = e^2x

Sabemos que, em se tratando de derivada de potência, o resultado da letra "a" fica:

a) f´(u) = (1/2) . u^-1/2

E que, pela regra da cadeia, o resultado de "b" fica:

b) f´(x) = 2 . e^2x

E é aqui que meus problemas começam!!!!!

Com relação à letra "a", sou tentado a resolver de outra maneira também, que é a seguinte:
considero, por exemplo, que "w = u^1/2" ou mesmo "w^2 = u". Com isso, o que quer que eu faça com "w", logicamente estaria fazendo com "u^1/2" e o que quer que eu faça com "w^2", logicamente estaria fazendo com "u", já que se tratam de igualdades.

Sendo assim, f(u) = f(w^2) = w. Portanto, pela regra da potência, teríamos f´(u) = f´(w^2) = 1 . (w)^0 = 1 . (u^1/2)^0 = 1.

Já com relação à letra "b", eu poderia considerar a regra da cadeia de modo diferente e fazer:
f(x) = e^2x = (e^2)^x
e considerar f(x) = k^x

f´(x) = k^x . ln K = k^x . ln e^2 = k^x . 2 = 2 . k^x = 2 . e^2x

Esta maneira de resolver a letra "b" está certa enquanto alternativa ao método da regra da cadeia?????

Sei que o cálculo da derivada dando igual a "1" na letra "a" está errado, pois quando aplicamos a definição geral de derivada baseada em limite do intervalo tendendo a zero, o resultado é diferente de "1", dando "(1/2) . u^-1/2".

Só não entendo onde está o erro, qual o motivo de estar errado e como provar o erro de modo mais simples e direto!!!!!!

Se
u^1/2 = w

e que
log(u^1/2) = log w

e que
u^1/2 + 345 = w + 345

e que
(u^1/2)^999 = w^999

e que
u^1/2 / 546398 = w / 546398

e assim por diante

não seria razoável supor também que
f´(u^1/2) = f´(w)???????????????????????????????

E por que os resultados de derivação dão diferentes se a afirmação anterior for verdadeira??????????????

Enfim, qual o erro e onde está o erro???????????

Podem me ajudar, por favor?????????

[lmtosta]

Ninguém se habilita?????

Por favor pessoal.

Eu realmente não consegui entender o que expus aqui!!!!!!!!!

É uma dúvida muito difícil ou fácil demais para ser respondida?????

[lmtosta]

Bom dia povo.


Estive pensando e refletindo bastante sobre os exemplos que aqui postei e acho que consegui algumas respostas, embora não tenha certeza de estarem ou não corretas e coerentes.

Resolvi compartilhar com vocês.

Derivar f(u) = f(w^2) = w em termos de "w" estaria errado porque a função não seria derivável para "w", mas sim para "w^2", já que a função tem por variável independente o quadrado de "w", ou seja, "w^2", e não "w". Assim, derivar apenas o "w" representaria parte da solução do problema, visto que a função original não é "f(w)", mas sim "f(w^2)". Então, ficaria pendente a parte da derivada que considera a função de fato e sua real variável independente "w^2" ou "u".

Para termos a variável independente "w^2" na função acima, de análise, basta considerar:
f(u) = f(w^2) = w = (w^2)^1/2

Logo, considerando a verdadeira variável independente de "w^2" ao invés de apenas "w", pelo método do expoente, vem que:

f´(u) = f´(w^2) = (1/2) . (w^2)^(1/2)-1 = (1/2) . (w^2)^-1/2 = (1/2) . u^-1/2

Ou, pela Regra da Cadeia:

A(w^2) = (w^2)^1
f(A) = A^1/2

Derivando separadamente vem que:

ERRADO: dA(w^2)/dw^2 = 2.w (Não se pode derivar "w^2" diretamente, pois o quadrado expoente dois faz parte da variável independente da função e, portanto, é inderivável!!!!!!)

CERTO: dA(w^2)/dw^2 = 1 . (w^2)^1-1 = 1 . (w^2)^0 = 1 . 1 = 1

df(A)/dA = (1/2) . A^-1/2 = (1/2) . (w^2)^-1/2

f´(u) = f´(w^2) = (df(A)/dA) . (dA/dw^2) = (1/2) . (w^2)^-1/2 . 1 = (1/2) . (w^2)^-1/2 = (1/2) . u^-1/2

Quanto à letra "b", creio que esteja correto fazer pelo método exponencial como alternativa à Regra da Cadeia, pois de fato "e^2" é uma constante e pode, em princípio, ser tratada como tal!!!!!!!