Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica

[Idocrase]

Prove que os pontos A (a, b + c), B (b, a + c) e C (c, a + b) são colineares e determine uma equação da reta que os contém.

Na verdade eu já consegui provar que os pontos são colineares, mas eu não consegui determinar a equação da reta, alguém me explica como eu faço? quem puder me explicar passo a passo essa parte da equação da reta eu agradeço.

[deBroglie]

Idocrase, para descobrir qual a equação de uma reta precisamos apenas de dois pontos dessa reta , ou então de um ponto e do coeficiente angular ; como nesse caso temos 3 pontos , basta pegar apenas 2 deles e colocá-los numa matriz 3x3 da seguinte maneira, e igualar a zero , já que se tratam de pontos colineares : ( vou pegar os pontos A e B)
[tex3]\begin{pmatrix}
a & b+c & 1 \\
b & a+c & 1 \\
x & y & 1 \\
\end{pmatrix}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
a & b+c & 1 \\
b & a+c & 1 \\
x & y & 1 \\
\end{pmatrix}=0[/tex3]

; [tex3](x +y ). (b-a) +(a+b+c).(a-b)=0[/tex3] , encontrando dessa maneira a equação da reta que passa por esses 3 pontos , para ter certeza podemos substituir o valor do ponto C na equação e , como pertence a reta , o valor deverá ser zero ;
[tex3](c+a+b).(b-a)+(a+b+c).(a-b)=cb-ca+ab-a^2+b^2-ab+a^2-ba+ba-b^2+ca-cb=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](c+a+b).(b-a)+(a+b+c).(a-b)=cb-ca+ab-a^2+b^2-ab+a^2-ba+ba-b^2+ca-cb=0[/tex3]

[Idocrase]

Idocrase, para descobrir qual a equação de uma reta precisamos apenas de dois pontos dessa reta , ou então de um ponto e do coeficiente angular ; como nesse caso temos 3 pontos , basta pegar apenas 2 deles e colocá-los numa matriz 3x3 da seguinte maneira, e igualar a zero , já que se tratam de pontos colineares : ( vou pegar os pontos A e B)
[tex3]\begin{pmatrix}
a & b+c & 1 \\
b & a+c & 1 \\
x & y & 1 \\
\end{pmatrix}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
a & b+c & 1 \\
b & a+c & 1 \\
x & y & 1 \\
\end{pmatrix}=0[/tex3]

; [tex3](x +y ). (b-a) +(a+b+c).(a-b)=0[/tex3] , encontrando dessa maneira a equação da reta que passa por esses 3 pontos , para ter certeza podemos substituir o valor do ponto C na equação e , como pertence a reta , o valor deverá ser zero ;
[tex3](c+a+b).(b-a)+(a+b+c).(a-b)=cb-ca+ab-a^2+b^2-ab+a^2-ba+ba-b^2+ca-cb=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](c+a+b).(b-a)+(a+b+c).(a-b)=cb-ca+ab-a^2+b^2-ab+a^2-ba+ba-b^2+ca-cb=0[/tex3]

Nesse caso a equação da reta está na forma geral ou reduzida?

[deBroglie]

Idocrase, nesse caso está na forma geral , para passar para a reduzida basta isolar o [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

:
[tex3]x.(b-a) + y.(b-a)+ (a+b+c).(a-b)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x.(b-a) + y.(b-a)+ (a+b+c).(a-b)=0[/tex3]

[tex3]\therefore [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore [/tex3]

[tex3]x.(b-a)+(a+b+c).(a-b)=-y.(b-a)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x.(b-a)+(a+b+c).(a-b)=-y.(b-a)[/tex3]

;
... [tex3]y=\frac{-x.(b-a)-(a+b+c).(a-b)}{b-a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\frac{-x.(b-a)-(a+b+c).(a-b)}{b-a}[/tex3]

; [tex3]y= \frac{x.(a-b)+(a+b+c).(b-a)}{b-a}[/tex3]

[Idocrase]

Idocrase, nesse caso está na forma geral , para passar para a reduzida basta isolar o [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

:
[tex3]x.(b-a) + y.(b-a)+ (a+b+c).(a-b)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x.(b-a) + y.(b-a)+ (a+b+c).(a-b)=0[/tex3]

[tex3]\therefore [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore [/tex3]

[tex3]x.(b-a)+(a+b+c).(a-b)=-y.(b-a)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x.(b-a)+(a+b+c).(a-b)=-y.(b-a)[/tex3]

;
... [tex3]y=\frac{-x.(b-a)-(a+b+c).(a-b)}{b-a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\frac{-x.(b-a)-(a+b+c).(a-b)}{b-a}[/tex3]

; [tex3]y= \frac{x.(a-b)+(a+b+c).(b-a)}{b-a}[/tex3]

Só mais uma dúvida, você chegou naquela fórmula da eq. geral da reta utilizando a regra de sarrus? Eu coloquei os pontos e a equação em um programa chamado GeoGebra e de fato a reta passa pelos três pontos, mas eu estou tentando fazer os cálculos e não estou conseguindo chegar naquela fórmula, se puder me explicar passo a passo eu agradeço