Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido

[Idocrase]

Mostre que A(a, 2a-1) ; B(a+1, 2a+1) e C(a+2, 2a + 3) são colineares para todo valor real do número a.

[deBroglie]

Olá, Idocrase.
=> Os pontos em um plano cartesiano são colineares quando todos pertencem a uma mesma reta. Para verificar se três pontos são colineares, devemos calcular o determinante de uma matriz 3x3 formada pelas coordenadas desses pontos. Colocando em cada linha suas coordenadas x ,y e z , como nesse caso só há x e y , logo todos tem z igual a 1 . Se o determinante dessa matriz for igual a 0 então os pontos são colineares.
[tex3]\begin{pmatrix}
a & 2a-1 & 1 \\
a+1 & 2a+1 & 1 \\
a+2 & 2a+3 & 1 \\
\end{pmatrix}=a+2.(2a-1)+a.(2a+1)+a+1.(2a+3)-[a+1.(2a-1)+a+2.(2a+1)+a.(2a+3)][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
a & 2a-1 & 1 \\
a+1 & 2a+1 & 1 \\
a+2 & 2a+3 & 1 \\
\end{pmatrix}=a+2.(2a-1)+a.(2a+1)+a+1.(2a+3)-[a+1.(2a-1)+a+2.(2a+1)+a.(2a+3)][/tex3]

=
[tex3]2a^{2}-a+4a-2+2a^2+a+2a^2+3a+2a+3-[2a^2-a+2a-1+2a^2+a+4a+2+2a^2+3a] = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2a^{2}-a+4a-2+2a^2+a+2a^2+3a+2a+3-[2a^2-a+2a-1+2a^2+a+4a+2+2a^2+3a] = 0[/tex3]

...Provando dessa maneira que os pontos A,B e C são colineares para todo a [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

[Idocrase]

Olá, Idocrase.
=> Os pontos em um plano cartesiano são colineares quando todos pertencem a uma mesma reta. Para verificar se três pontos são colineares, devemos calcular o determinante de uma matriz 3x3 formada pelas coordenadas desses pontos. Colocando em cada linha suas coordenadas x ,y e z , como nesse caso só há x e y , logo todos tem z igual a 1 . Se o determinante dessa matriz for igual a 0 então os pontos são colineares.
[tex3]\begin{pmatrix}
a & 2a-1 & 1 \\
a+1 & 2a+1 & 1 \\
a+2 & 2a+3 & 1 \\
\end{pmatrix}=a+2.(2a-1)+a.(2a+1)+a+1.(2a+3)-[a+1.(2a-1)+a+2.(2a+1)+a.(2a+3)][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
a & 2a-1 & 1 \\
a+1 & 2a+1 & 1 \\
a+2 & 2a+3 & 1 \\
\end{pmatrix}=a+2.(2a-1)+a.(2a+1)+a+1.(2a+3)-[a+1.(2a-1)+a+2.(2a+1)+a.(2a+3)][/tex3]

=
[tex3]2a^{2}-a+4a-2+2a^2+a+2a^2+3a+2a+3-[2a^2-a+2a-1+2a^2+a+4a+2+2a^2+3a] = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2a^{2}-a+4a-2+2a^2+a+2a^2+3a+2a+3-[2a^2-a+2a-1+2a^2+a+4a+2+2a^2+3a] = 0[/tex3]

...Provando dessa maneira que os pontos A,B e C são colineares para todo a [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

Muito obrigado