Considere a função
F (x)=∫(x^3 no canto superior e 0 no canto inferior) tcost dt
definida para todo x existente nos reais.
Mostre que F é derivável nos reais e calcule F'(x).
Ensino Superior ⇒ Questão de Cálculo
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2021
27
21:39
Re: Questão de Cálculo
Temos que:
[tex3]F(x)=\int_0^{x^3}t\cos(t)dt[/tex3]
Sabemos do Teorema Fundamental do Cálculo - Parte II, que uma função da forma:
[tex3]G(x)=\int _{\alpha(x)}^{\beta(x)} g(t)dt[/tex3]
é contínua e derivável nos intervalos em que [tex3]g(t)[/tex3] é contínua e em que [tex3]\alpha(x),\beta (x)[/tex3] são contínuas e deriváveis.
Como [tex3]x^3[/tex3] é contínua e derivável em todos os reais e o mesmo para [tex3]t\cos(t)[/tex3] , então [tex3]F(x)[/tex3] é contínua e derivável para todos os reais. Para calcular [tex3]F'(x)[/tex3] , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I:
[tex3]F(x)=\int_0^{x^3}t\cos(t)dt[/tex3]
[tex3]F(x)=T(x^3)-T(0)[/tex3] ,
onde [tex3]T'(t)=t\cos(t)[/tex3] . Derivando a equação de ambos os lados e aplicando a Regra da Cadeia:
[tex3]F'(x)=T'(x^3)\cdot (x^3)'-T'(0)[/tex3]
Como [tex3]T(0)=cte[/tex3] , então [tex3]T'(0)=0[/tex3] . Logo:
[tex3]F'(x)=x^3\cos(x^3)\cdot 3x^2[/tex3]
[tex3]F'(x)=3x^5\cos(x^3)[/tex3]
[tex3]F(x)=\int_0^{x^3}t\cos(t)dt[/tex3]
Sabemos do Teorema Fundamental do Cálculo - Parte II, que uma função da forma:
[tex3]G(x)=\int _{\alpha(x)}^{\beta(x)} g(t)dt[/tex3]
é contínua e derivável nos intervalos em que [tex3]g(t)[/tex3] é contínua e em que [tex3]\alpha(x),\beta (x)[/tex3] são contínuas e deriváveis.
Como [tex3]x^3[/tex3] é contínua e derivável em todos os reais e o mesmo para [tex3]t\cos(t)[/tex3] , então [tex3]F(x)[/tex3] é contínua e derivável para todos os reais. Para calcular [tex3]F'(x)[/tex3] , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I:
Assim, temos:[tex3]\int _a^b f(t)dt=F(b)-F(a)[/tex3],
onde [tex3]F'(t)=f(t)[/tex3]
[tex3]F(x)=\int_0^{x^3}t\cos(t)dt[/tex3]
[tex3]F(x)=T(x^3)-T(0)[/tex3] ,
onde [tex3]T'(t)=t\cos(t)[/tex3] . Derivando a equação de ambos os lados e aplicando a Regra da Cadeia:
[tex3]F'(x)=T'(x^3)\cdot (x^3)'-T'(0)[/tex3]
Como [tex3]T(0)=cte[/tex3] , então [tex3]T'(0)=0[/tex3] . Logo:
[tex3]F'(x)=x^3\cos(x^3)\cdot 3x^2[/tex3]
[tex3]F'(x)=3x^5\cos(x^3)[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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