Ensino Superior ⇒ Integral indefinida Tópico resolvido

[PedroLucas]

Calcule a integral [tex3]\int{\frac{sin\sqrt {x}}{\sqrt{2}}dx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int{\frac{sin\sqrt {x}}{\sqrt{2}}dx}[/tex3]

[AnthonyC]

[tex3]\int{\sen\(\sqrt{x}\)\over \sqrt2}dx[/tex3]

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[tex3]\int{\sen\(\sqrt{x}\)\over \sqrt2}dx[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
u=\sqrt{x} \\
u^2=x\\
2udu=dx
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
u=\sqrt{x} \\
u^2=x\\
2udu=dx
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\int{\sen\(u\)\over \sqrt2}(2udu)[/tex3]

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[tex3]\int{\sen\(u\)\over \sqrt2}(2udu)[/tex3]

[tex3]\int\sqrt2{\sen\(u\)u}\cdot du[/tex3]

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[tex3]\int\sqrt2{\sen\(u\)u}\cdot du[/tex3]

[tex3]\sqrt2\int{\sen\(u\)u}\cdot du[/tex3]

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[tex3]\sqrt2\int{\sen\(u\)u}\cdot du[/tex3]

Utilizemos a fórmula da integral por partes:

[tex3]\int f'(u)g(u)du=f(u)g(u)-\int f(u)g'(u)du[/tex3]

Seja [tex3]f'(u)=\sen(u)\implies f(u)=-\cos(u)[/tex3]

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[tex3]f'(u)=\sen(u)\implies f(u)=-\cos(u)[/tex3]

e [tex3]g(x)=u\implies g'(u)=1[/tex3]

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[tex3]g(x)=u\implies g'(u)=1[/tex3]

. Logo:
[tex3]\sqrt2\int \sen(u)u\cdot du=-\sqrt2\cos(u)u-\sqrt2\int (-\cos(u))\cdot 1du[/tex3]

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[tex3]\sqrt2\int \sen(u)u\cdot du=-\sqrt2\cos(u)u-\sqrt2\int (-\cos(u))\cdot 1du[/tex3]

[tex3]\sqrt2\int \sen(u)u\cdot du=-\sqrt2\cos(u)u+\sqrt2\int \cos(u)du[/tex3]

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[tex3]\sqrt2\int \sen(u)u\cdot du=-\sqrt2\cos(u)u+\sqrt2\int \cos(u)du[/tex3]

[tex3]\sqrt2\int \sen(u)u\cdot du=-\sqrt2\cos(u)u+\sqrt2\sen(u)+C[/tex3]

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[tex3]\sqrt2\int \sen(u)u\cdot du=-\sqrt2\cos(u)u+\sqrt2\sen(u)+C[/tex3]

Substituindo [tex3]u[/tex3]

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[tex3]u[/tex3]

:
[tex3]\int{\sen\(\sqrt{x}\)\over \sqrt2}dx=-\sqrt2\cos\(\sqrt{x}\)\sqrt{x}+\sqrt2\sen\(\sqrt{x}\)+C[/tex3]