Sabendo que
[tex3]y'=\frac{y}{2}[/tex3]
[tex3]y=\frac{3}{4}(x-2)^{2}[/tex3]
Calcule a integral abaixo
[tex3]\int\limits_{0}^{2}y'ydx[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Integral Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2021
26
03:59
Re: Integral
[tex3]\int\limits_{0}^{2}y'y\ dx=\int\limits_{0}^{2}\frac{y}{2}y\ dx=\frac12\int\limits_{0}^{2}y^2\ dx=\frac12\int\limits_{0}^{2}\left[\frac{3}{4}(x-2)^2\right]^2\ dx=\frac12\int\limits_{0}^{2}\frac{9}{16}(x-2)^4\ dx=\frac{9}{32}\int\limits_{0}^{2}x^4-8x^3+24x^2-32x+16\ dx[/tex3]
[tex3]=\frac{9}{32}\int\limits_{0}^{2}x^4\ dx-8\int\limits_{0}^{2}x^3\ dx+24\int\limits_{0}^{2}x^2\ dx-32\int\limits_{0}^{2}x\ dx+\int\limits_{0}^{2}16\ dx=\frac{9}{32}\left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{8}{4}x^4 + \frac{24}{3}x^3 - \frac{32}{2}x^2 + 16x \right]_0^2[/tex3]
[tex3]=\frac{9}{32}\left[ \left(\frac{2^5}{5}-2\cdot2^4+8\cdot2^3 - 16\cdot 2^2+16\cdot2 \right) - 0 \right]=\frac{9}{32}\left( \frac{32}{5}-32+64-64+32 \right)=\boxed{\frac{9}{5}}[/tex3]
[tex3]=\frac{9}{32}\int\limits_{0}^{2}x^4\ dx-8\int\limits_{0}^{2}x^3\ dx+24\int\limits_{0}^{2}x^2\ dx-32\int\limits_{0}^{2}x\ dx+\int\limits_{0}^{2}16\ dx=\frac{9}{32}\left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{8}{4}x^4 + \frac{24}{3}x^3 - \frac{32}{2}x^2 + 16x \right]_0^2[/tex3]
[tex3]=\frac{9}{32}\left[ \left(\frac{2^5}{5}-2\cdot2^4+8\cdot2^3 - 16\cdot 2^2+16\cdot2 \right) - 0 \right]=\frac{9}{32}\left( \frac{32}{5}-32+64-64+32 \right)=\boxed{\frac{9}{5}}[/tex3]
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Nov 2021
27
12:49
Re: Integral
Acho que aqui ficaria mais rápido pelo método da substituição:ragefloyd escreveu: ↑Sex 26 Nov, 2021 03:59[tex3]\int\limits_{0}^{2}y'y\ dx=\int\limits_{0}^{2}\frac{y}{2}y\ dx=\frac12\int\limits_{0}^{2}y^2\ dx=\frac12\int\limits_{0}^{2}\left[\frac{3}{4}(x-2)^2\right]^2\ dx=\frac12\int\limits_{0}^{2}\frac{9}{16}(x-2)^4\ dx=\frac{9}{32}\int\limits_{0}^{2}x^4-8x^3+24x^2-32x+16\ dx[/tex3]
[tex3]=\frac{9}{32}\int\limits_{0}^{2}x^4\ dx-8\int\limits_{0}^{2}x^3\ dx+24\int\limits_{0}^{2}x^2\ dx-32\int\limits_{0}^{2}x\ dx+\int\limits_{0}^{2}16\ dx=\frac{9}{32}\left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{8}{4}x^4 + \frac{24}{3}x^3 - \frac{32}{2}x^2 + 16x \right]_0^2[/tex3]
[tex3]=\frac{9}{32}\left[ \left(\frac{2^5}{5}-2\cdot2^4+8\cdot2^3 - 16\cdot 2^2+16\cdot2 \right) - 0 \right]=\frac{9}{32}\left( \frac{32}{5}-32+64-64+32 \right)=\boxed{\frac{9}{5}}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}\frac{9}{16}(x-2)^4\ dx=\frac{9}{32}\int\limits_{0}^{2}(x-2)^4\ dx \\
u = x-2\\
du = 1\cdot dx[/tex3]
Substituindo na integral sem mexer nos limites superiores e inferiores (quero voltar no final):
[tex3]\frac{9}{32}\int\limits_{0}^{2}u^4\ du = \frac{9}{32}\cdot\frac{u^5}{5} = \frac{9}{160}\cdot (x-2)^5 ]_{0}^{2}
[/tex3]
Substituindo os limites superior e inferior:
[tex3]\frac{9}{160}\cdot (x-2)^5 ]_{0}^{2} = \frac{9}{160}[\cdot (2-2)^5 - (0-2)^5] = \frac{9}{\cancel{160}^5}\cdot \cancel{32} = \boxed{\boxed{\frac{9}{5}}}[/tex3]
Tudo passa no seu passo.
Nov 2021
29
18:35
Re: Integral
PedroLucas De fato bem melhor! Obrigado por apontar.
Sendo bem sincero, eu não tenho tanta experiência com integrais, mas eu vi um que sabia resolver então postei minha solução hsuahsuah
Sendo bem sincero, eu não tenho tanta experiência com integrais, mas eu vi um que sabia resolver então postei minha solução hsuahsuah
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