Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica

[brab022]

Fala, meus lindos e lindas.
Grandes da matemática, preciso da ajuda de vocês com essa questão.

3. Posições relativas e ângulos
Determine as posições relativas entre:

(a) As retas r: X = (1,1,1) + λ(1,0,1), λ ∈R, e s: Y = (1,3,−1) + μ(−1,0,1), μ ∈R. Determine
o conjunto r ∩s .

(b) A reta t: X = (1,1,0) + λ(0,1,1),λ ∈Re o plano π: x−y −z = 2. Determine o conjunto
t ∩π.

(c) Calcule a medida de θ, do ângulo entre a reta r dada por X = (0,1,0) + λ(−1,−1,0), λ ∈Re
o plano π : y + z = 10.

[AlexandreHDK]

a) Ao igualar as equações das retas, temos o sistema:
1+λ = 1- μ
1 = 3
1+λ = -1+μ
Este sistema não tem solução, logo r ∩ s = ∅.

b) na reta t, todo ponto (x,y,z) = (1,1+λ, λ)
Ao substituir estes valores na equação do plano π, temos:
1-(1+λ) - λ = 2
1-1-λ-λ=2
-2 λ=2
λ=-1
Assim, t ∩ π é o conjunto de pontos onde λ=-1, o que na verdade só tem 1 elemento:
t ∩ π ={(1,0,-1)}

c) O vetor diretor da reta é v=(-1,-1,0). O vetor normal do plano π é n=(0,1,1). Eles saem diretamente das equações que foram dadas.
Assim, o ângulo α entre v e n pode ser calculado como:
α = cos⁻¹((v•n)/(|v|.|n|))
v•n = (-1).0 + (-1).1 + 0.1 = -1
|v| = √((-1)^2+(-1)^2+0²)=√2
|n| = √(0²+1²+1²)=√2
α = cos⁻¹((-1)/(√2.√2))=cos⁻¹(-1/2)=2π/3
Este ângulo α maior que π/2 só quer dizer que v e n apontam para lados opostos. Se usássemos outro vetor n' oposto a n, teríamos o ângulo α = π/3. Bom, α é o ângulo entre v e a normal de π. Como queremos o ângulo entre v e π, precisamos do complementar de α, ou seja, θ = π/6.