Ensino Superior ⇒ Classifique e determine seus limites, caso existam

[magben]

Converge ou Divergente? Determinar o limite se existir.

a) [tex3]\left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n+b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n+b}[/tex3]

,[tex3]b \in \mathbb{R} [/tex3]

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[tex3]b \in \mathbb{R} [/tex3]

[AnthonyC]

[tex3]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n+b}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n+b}[/tex3]

[tex3]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n-1+3}{n-1}\right)^{n+b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n-1+3}{n-1}\right)^{n+b}[/tex3]

[tex3]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n-1}{n-1}+\frac{3}{n-1}\right)^{n+b}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n-1}{n-1}+\frac{3}{n-1}\right)^{n+b}[/tex3]

[tex3]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n-1}\right)^{n+b}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n-1}\right)^{n+b}[/tex3]

Façamos a substituição [tex3]\begin{cases}
{n-1\over3}=u\ \\
n=3u+1\\
n\rightarrow \infty \implies u\rightarrow \infty
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
{n-1\over3}=u\ \\
n=3u+1\\
n\rightarrow \infty \implies u\rightarrow \infty
\end{cases}[/tex3]

:
[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{3u+1+b}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{3u+1+b}[/tex3]

[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{3u}\(1+\frac{1}{u}\)^{1+b}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{3u}\(1+\frac{1}{u}\)^{1+b}[/tex3]

[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{3u}\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{1+b}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{3u}\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{1+b}[/tex3]

Como potenciação é um função contínua nos reais positivos, então podemos trocar a ordem entre limite e função:
[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{3u}\(\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)\)^{1+b}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{3u}\(\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)\)^{1+b}[/tex3]

[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{3u}\(1+0\)^{1+b}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{3u}\(1+0\)^{1+b}[/tex3]

[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{3u}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{3u}[/tex3]

[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(\(1+\frac{1}{u}\)^{u}\)^3[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{u\rightarrow \infty}\(\(1+\frac{1}{u}\)^{u}\)^3[/tex3]

Pelo mesmo motivo de antes:
[tex3]L=\(\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{u}\)^3[/tex3]

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[tex3]L=\(\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{u}\)^3[/tex3]

Sabemos que [tex3]\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{u}=e[/tex3]

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[tex3]\lim_{u\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{u}\)^{u}=e[/tex3]

, logo:
[tex3]L=e^3[/tex3]