Prove que a sequência abaixo tem o limite L (usando a definição)
a) [tex3]\left(\frac{8}{2n+3}\right);L=4[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Sequência - Limite usando a definição Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2021
27
23:22
Re: Sequência - Limite usando a definição
Acho que a sequência devia ser [tex3]8n\over 2n+3[/tex3]
.
Rascunho:
Demonstração:
Seja [tex3]\varepsilon>0[/tex3] . Tomemos [tex3]N={6\over \varepsilon}-{3\over2}[/tex3] . Se [tex3]n>N[/tex3] , então:
[tex3]{n }>{6\over \varepsilon}-{3\over2} [/tex3]
[tex3]{2n+3\over12 }>{1\over \varepsilon} [/tex3]
[tex3]{12\over 2n+3}<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {-12\over 2n+3}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {8n\over 2n+3}-{8n+12\over 2n+3}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {8n\over 2n+3}-{4(2n+3)\over 2n+3}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {8n\over 2n+3}-4\right|<\varepsilon [/tex3]
Como [tex3]n>N\implies \left| {8n\over 2n+3}-4\right|<\varepsilon [/tex3] , então [tex3]\lim_{n\rightarrow\infty} {8n\over 2n+3}=4 [/tex3] .
Rascunho:
[tex3]\left| {8n\over 2n+3}-4\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {8n\over 2n+3}-{4(2n+3)\over 2n+3}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {8n\over 2n+3}-{8n+12\over 2n+3}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {-12\over 2n+3}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]{12\over 2n+3}<\varepsilon [/tex3]
[tex3]{2n+3\over12 }>{1\over \varepsilon} [/tex3]
[tex3]{n }>{6\over \varepsilon}-{3\over2} [/tex3]
Assim, a escolha natural de [tex3]N[/tex3] seria [tex3]N={6\over \varepsilon}-{3\over2}[/tex3]
Demonstração:
Seja [tex3]\varepsilon>0[/tex3] . Tomemos [tex3]N={6\over \varepsilon}-{3\over2}[/tex3] . Se [tex3]n>N[/tex3] , então:
[tex3]{n }>{6\over \varepsilon}-{3\over2} [/tex3]
[tex3]{2n+3\over12 }>{1\over \varepsilon} [/tex3]
[tex3]{12\over 2n+3}<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {-12\over 2n+3}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {8n\over 2n+3}-{8n+12\over 2n+3}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {8n\over 2n+3}-{4(2n+3)\over 2n+3}\right|<\varepsilon [/tex3]
[tex3]\left| {8n\over 2n+3}-4\right|<\varepsilon [/tex3]
Como [tex3]n>N\implies \left| {8n\over 2n+3}-4\right|<\varepsilon [/tex3] , então [tex3]\lim_{n\rightarrow\infty} {8n\over 2n+3}=4 [/tex3] .
Última edição: AnthonyC (Dom 28 Nov, 2021 08:06). Total de 1 vez.
Razão: alguns dos sinais de inequação estavam incorretos.
Razão: alguns dos sinais de inequação estavam incorretos.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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FelipeMartin
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Nov 2021
28
05:30
Re: Sequência - Limite usando a definição
Nessa passagem, faltou você inverter o sinal da desigualdade. O certo é:
[tex3]{12\over 2n+3}<\varepsilon \implies {2n+3\over12 } > {1\over \varepsilon} [/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Nov 2021
28
08:07
Re: Sequência - Limite usando a definição
Já arrumei ali. Valeu por ter percebido.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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