Ensino SuperiorLimites Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Joaquim1
sênior
Mensagens: 24
Registrado em: Seg 15 Nov, 2021 21:50
Última visita: 18-01-22
Nov 2021 25 14:57

Limites

Mensagem não lida por Joaquim1 »

Gostaria que quem for responder, por gentileza, coloque uma explicação de o que foi feito em cada resolução além dos cálculos, essas explicações me ajudam muito na hora de estudar. Obrigado


Calcule os seguintes limites (sem usar a regra de L’Hospital) ou mostre que o limite não existe:


1) limx[tex3]\rightarrow -\infty [/tex3] [tex3]\frac{2x+3}{\sqrt{x^2+1}}[/tex3]

2) limx[tex3]\rightarrow b[/tex3][tex3]\frac{sen(5x-5b)}{x-b}(b\neq 0)[/tex3]

3) limt[tex3]\rightarrow +\infty[/tex3][tex3]\left(1+\frac{1}{t}\right)[/tex3] 8t

4) limx[tex3]\rightarrow 0[/tex3][tex3]\frac{ln(1+sen(x))}{sen(x)}[/tex3]
Resposta

Não tenho certeza das respostas

1) -2
2) Não tenho a resposta
3) e^8
4) 1

Última edição: Joaquim1 (Qui 25 Nov, 2021 22:11). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
Autor do Tópico
Joaquim1
sênior
Mensagens: 24
Registrado em: Seg 15 Nov, 2021 21:50
Última visita: 18-01-22
Nov 2021 26 13:27

Re: Limites

Mensagem não lida por Joaquim1 »

Alguém ai poderia me ajudar com a resolução desses limites? Tenho uma prova hoje e esses foram os únicos da lista de estudos que não consegui resolver. Obrigado!




Avatar do usuário
AnthonyC
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 964
Registrado em: Sex 09 Fev, 2018 19:43
Última visita: 21-02-24
Nov 2021 26 17:51

Re: Limites

Mensagem não lida por AnthonyC »

1)[tex3]\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x+3}{\sqrt{x^2+1}}[/tex3]
Limites de funções racionais tendendo ao infinito podem ser resolvidas com o seguinte método:
[tex3]\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x\(2+{3\over x}\)}{\sqrt{x^2\(1+{1\over x^2}\)}}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x\(2+{3\over x}\)}{|x|\sqrt{1+{1\over x^2}}}[/tex3]
Como [tex3]{x\rightarrow -\infty}[/tex3] , então podemos considerar [tex3]x<0[/tex3] , logo [tex3]|x|=-x[/tex3] . Portanto:
[tex3]\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x\(2+{3\over x}\)}{-x\sqrt{1+{1\over x^2}}}[/tex3]
[tex3]-\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2+{3\over x}}{\sqrt{1+{1\over x^2}}}[/tex3]
[tex3]-\frac{\lim_{x\rightarrow -\infty}\(2+{3\over x}\)}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{1+{1\over x^2}}}[/tex3]
[tex3]-\frac{2+0}{\sqrt{1+0}}[/tex3]
[tex3]-2[/tex3]



2) [tex3]\lim_{x\rightarrow b}\frac{\sen(5x-5b)}{x-b}(b\neq 0)[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow b}\frac{5\sen(5x-5b)}{5(x-b)}[/tex3]
[tex3]5\lim_{x\rightarrow b}\frac{\sen(5x-5b)}{5x-5b}[/tex3]
Fazendo a substitução [tex3]\begin{cases}
u=5x-5b \\
x\rightarrow b\implies u\rightarrow 0\end{cases}[/tex3] :
[tex3]5\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\sen(u)}{u}[/tex3]
Mas sabemos que [tex3]\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sen(\theta)}{\theta}=1[/tex3] , logo:
[tex3]\lim_{x\rightarrow b}\frac{\sen(5x-5b)}{x-b}=5[/tex3]
Dica desse: quando tiver razão entre senos e polinômios, tente fazer o polinômio ficar igual ao que está dentro do seno pra poder usar o limite [tex3]\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sen(\theta)}{\theta}=1[/tex3] .


3) [tex3]\lim_{t\rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{t}\right)^{8t}[/tex3]
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty }\(\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\)^8[/tex3]
[tex3]\(\lim_{t\rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\)^8[/tex3]
Sabemos que [tex3]\lim_{t\rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e[/tex3] , logo:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{t}\right)^{8t}=e^8[/tex3]
Dica desse: quando tiver variável no base e no expoente, tente manipular pra obter [tex3]\lim_{t\rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e[/tex3] .


4) [tex3]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+\sen(x))}{\sen(x)}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sen(x)}\ln(1+\sen(x))[/tex3]
Como [tex3]a\ln(b)=\ln(b^a)[/tex3] :
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0}\ln\((1+\sen(x))^\frac{1}{\sen(x)}\)[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]\begin{cases}
\frac{1}{\sen(x)}=u \\
\sen(x)=\frac{1}{u} \\
x\rightarrow 0\implies u\rightarrow \infty
\end{cases}[/tex3] :
[tex3]\lim_{u\rightarrow \infty }\ln\(\(1+{1\over u}\)^u\)[/tex3]
Como [tex3]\ln(x)[/tex3] é uma função contínua, podemos inverter a ordem entre função e limite:
[tex3]\ln\(\lim_{u\rightarrow \infty }\(1+{1\over u}\)^u\)[/tex3]
Sabemos que [tex3]\lim_{u\rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}=e[/tex3] , logo:
[tex3]\ln\(e\)[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+\sen(x))}{\sen(x)}=1[/tex3]
Dica: caso tenha [tex3]\ln(x)[/tex3] , pode tentar transformar em algo da questão 3.



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Limites e funções
    por Ósmio » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    510 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem Limites
    por Yoonsp » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    456 Exibições
    Última msg por snooplammer
  • Nova mensagem Limites
    por Gabi123 » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    380 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem Limites
    por Yoonsp » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    418 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem (EN 09) Limites
    por Deleted User 23699 » » em IME / ITA
    0 Respostas
    578 Exibições
    Última msg por Deleted User 23699

Voltar para “Ensino Superior”