Ensino Superior ⇒ Calculo 3 -Integral dupla

[fab12]

Calcule as integrais, para as regiões Ω indicadas.

[AnthonyC]

Primeiro, podemos fazer o gráfico das curvas para ter uma ideia da região e encontrar os limites de integração:

y entre x na 1 terço e -x na 1 terço com x menor que 8.png (33.18 KiB) Exibido 452 vezes

Vemos que [tex3]x^{1\over3}\geq y\geq -x^{1\over3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{1\over3}\geq y\geq -x^{1\over3}[/tex3]

e [tex3]8\ge x\geq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8\ge x\geq 0[/tex3]

. Logo:
[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^8\int_{-x^{1\over3}}^{x^{1\over3}} y^2\sen(x^2)dydx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^8\int_{-x^{1\over3}}^{x^{1\over3}} y^2\sen(x^2)dydx[/tex3]

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^8\sen(x^2)\int_{-x^{1\over3}}^{x^{1\over3}} y^2dydx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^8\sen(x^2)\int_{-x^{1\over3}}^{x^{1\over3}} y^2dydx[/tex3]

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^8\sen(x^2)\cdot\[ {y^3\over3}\]_{-x^{1\over3}}^{x^{1\over3}} dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^8\sen(x^2)\cdot\[ {y^3\over3}\]_{-x^{1\over3}}^{x^{1\over3}} dx[/tex3]

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^8\sen(x^2)\cdot\[ {x\over3}-\(-{x\over3}\)\]dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^8\sen(x^2)\cdot\[ {x\over3}-\(-{x\over3}\)\]dx[/tex3]

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^8{2x\over3}\sen(x^2)dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^8{2x\over3}\sen(x^2)dx[/tex3]

Fazendo [tex3]\begin{cases}
u=x^2 \\
du=2xdx \\
x=0\implies u=0 \\
x=8\implies u=64
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
u=x^2 \\
du=2xdx \\
x=0\implies u=0 \\
x=8\implies u=64
\end{cases}[/tex3]

, temos:
[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^{64}{1\over3}\sen(u)du[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA=\int_0^{64}{1\over3}\sen(u)du[/tex3]

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA={1\over3}\int_0^{64}\sen(u)du[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA={1\over3}\int_0^{64}\sen(u)du[/tex3]

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA={1\over3}[-\cos(u)]_0^{64}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA={1\over3}[-\cos(u)]_0^{64}[/tex3]

[tex3]\iint_\Omega y^2\sen(x^2)dA={1\over3}[1-\cos(64)][/tex3]