[tex3]f(x + 5)[/tex3] [tex3]\geq [/tex3] [tex3]f(x) + 5[/tex3] , e
[tex3]f(x + 1)[/tex3] [tex3]\leq [/tex3] [tex3]f(x) + 1[/tex3] .
Se [tex3]g(x) = f(x) +1-x[/tex3] , determine [tex3]g(2002)[/tex3] .
Resposta
Gabarito: 1
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ (China) Funções compostas
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SkyWalker17
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Nov 2021
03
16:28
(China) Funções compostas
Dado que [tex3]f(x)[/tex3]
é uma função definida sobre [tex3]\mathbb{R}[/tex3]
, satisfazendo [tex3]f(1) = 1[/tex3]
, e para qualquer x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]
,
[tex3]f(x + 5)[/tex3] [tex3]\geq [/tex3] [tex3]f(x) + 5[/tex3] , e
[tex3]f(x + 1)[/tex3] [tex3]\leq [/tex3] [tex3]f(x) + 1[/tex3] .
Se [tex3]g(x) = f(x) +1-x[/tex3] , determine [tex3]g(2002)[/tex3] .
Gabarito: 1
[tex3]f(x + 5)[/tex3] [tex3]\geq [/tex3] [tex3]f(x) + 5[/tex3] , e
[tex3]f(x + 1)[/tex3] [tex3]\leq [/tex3] [tex3]f(x) + 1[/tex3] .
Se [tex3]g(x) = f(x) +1-x[/tex3] , determine [tex3]g(2002)[/tex3] .
Gabarito: 1
Editado pela última vez por MateusQqMD em 05 Nov 2021, 09:35, em um total de 1 vez.
Razão: colocar spoiler no gabarito
Razão: colocar spoiler no gabarito
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Gaussiano
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Jan 2022
20
23:25
Re: (China) Funções compostas
Observe que:
[tex3]g(1)=f(1)+1-1\Rightarrow g(1)=1.[/tex3]
Veja também que [tex3]\forall x\in\mathbb{R}:[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
f(x+5)\geq f(x)+5\Rightarrow g(x+5)+x+4\geq g(x)+x-1+5\Rightarrow g(x+5)\geq g(x) \\
f(x+1)\leq f(x)+1\Rightarrow g(x+1)+x\leq g(x)+x-1+1\Rightarrow g(x+1)\leq g(x) \,(I)
\end{cases}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]g(x+1)\leq g(x+5), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(y)\leq g(y+4), \forall y\in\mathbb{R}\,(II).[/tex3]
Por [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] , tem-se que:
[tex3]g(x+1)\leq g(x+4), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(z)\leq g(z+3), \forall z\in\mathbb{R}\,(III).[/tex3]
De [tex3](I)[/tex3] e [tex3](III)[/tex3] , obtém-se que:
[tex3]g(x+1)\leq g(x+3), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(w)\leq g(w+2), \forall w\in\mathbb{R}\,(IV).[/tex3]
Com [tex3](I)[/tex3] e [tex3](IV)[/tex3] , chega-se a:
[tex3]g(x+1)\leq g(x+2), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(t)\leq g(t+1), \forall t\in\mathbb{R}\,(V).[/tex3]
Finalmente, [tex3](I)[/tex3] e [tex3](V)[/tex3] resultam que:
[tex3]g(x)=g(x+1), \forall x\in\mathbb{R}.[/tex3]
Daí, [tex3]g(2002)=g(1)\Rightarrow g(2002)=1.[/tex3]
[tex3]g(1)=f(1)+1-1\Rightarrow g(1)=1.[/tex3]
Veja também que [tex3]\forall x\in\mathbb{R}:[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
f(x+5)\geq f(x)+5\Rightarrow g(x+5)+x+4\geq g(x)+x-1+5\Rightarrow g(x+5)\geq g(x) \\
f(x+1)\leq f(x)+1\Rightarrow g(x+1)+x\leq g(x)+x-1+1\Rightarrow g(x+1)\leq g(x) \,(I)
\end{cases}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]g(x+1)\leq g(x+5), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(y)\leq g(y+4), \forall y\in\mathbb{R}\,(II).[/tex3]
Por [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] , tem-se que:
[tex3]g(x+1)\leq g(x+4), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(z)\leq g(z+3), \forall z\in\mathbb{R}\,(III).[/tex3]
De [tex3](I)[/tex3] e [tex3](III)[/tex3] , obtém-se que:
[tex3]g(x+1)\leq g(x+3), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(w)\leq g(w+2), \forall w\in\mathbb{R}\,(IV).[/tex3]
Com [tex3](I)[/tex3] e [tex3](IV)[/tex3] , chega-se a:
[tex3]g(x+1)\leq g(x+2), \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow g(t)\leq g(t+1), \forall t\in\mathbb{R}\,(V).[/tex3]
Finalmente, [tex3](I)[/tex3] e [tex3](V)[/tex3] resultam que:
[tex3]g(x)=g(x+1), \forall x\in\mathbb{R}.[/tex3]
Daí, [tex3]g(2002)=g(1)\Rightarrow g(2002)=1.[/tex3]
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