(Bulgária) Sejam f1(x) = 1 + [tex3]\frac{1}{x}[/tex3]
Quantas soluções reais e distintas tem a equação x = f2001(x)?
Gabarito: 2 raízes reais e distintas.
e fn+1(x) = f1(fn(x)), para todo n [tex3]\in [/tex3]
[tex3]\mathbb{N}[/tex3]
.Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ (Bulgária) Funções Tópico resolvido
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Out 2021
28
02:35
Re: (Bulgária) Funções
[tex3]
\text{Seja }u_0=0,\,u_1=1 \text{ e }u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\\
f_1(x)=1+\frac{1}{x}=\frac{1+x}{x}=\frac{u_1+u_2x}{u_0+u_1x}\\
\text{Seja }n\in\mathbb{N}^*:\\
f_n(x)=\frac{u_n+u_{n+1}x}{u_{n-1}+u_nx}\implies f_{n+1}(x)=\!1\!\!+\!\!\frac{u_{n-1}\!\!+\!\!u_nx}{u_n\!\!+\!\!u_{n+1}x}=\frac{u_n+u_{n-1}\!\!+\!\!(u_n\!\!+\!\!u_{n+1})x}{u_n\!\!+\!\!u_{n+1}x}=\frac{u_{n+1}\!\!+\!\!u_{n+2}x}{u_n\!\!+\!\!u_{n+1}x}\\
\text{e portanto }\forall n\in\mathbb{N}^*,\,f_n(x)=f_n(x)=\frac{u_n\!+\!u_{n+1}x}{u_{n-1}\!+\!u_nx}\\[24pt]
\begin{align}
\forall n \in \mathbb{N}^*, f_n(x)=x&\iff\frac{u_n+u_{n+1}x}{u_{n-1}+u_nx}=x\\[6pt]
&\iff u_nx^2+(u_{n-1}-u_{n+1})x-u_n=u_nx^2-u_nx-u_n=0\\[6pt]
&\iff\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{u_n+\sqrt{u_n^2+4u_n^2}}{2u_n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\quad\text{já que }\forall n\in\mathbb{N}^*,\,u_n>0\\\text{ou}\\x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.
\end{align}
[/tex3]
\text{Seja }u_0=0,\,u_1=1 \text{ e }u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\\
f_1(x)=1+\frac{1}{x}=\frac{1+x}{x}=\frac{u_1+u_2x}{u_0+u_1x}\\
\text{Seja }n\in\mathbb{N}^*:\\
f_n(x)=\frac{u_n+u_{n+1}x}{u_{n-1}+u_nx}\implies f_{n+1}(x)=\!1\!\!+\!\!\frac{u_{n-1}\!\!+\!\!u_nx}{u_n\!\!+\!\!u_{n+1}x}=\frac{u_n+u_{n-1}\!\!+\!\!(u_n\!\!+\!\!u_{n+1})x}{u_n\!\!+\!\!u_{n+1}x}=\frac{u_{n+1}\!\!+\!\!u_{n+2}x}{u_n\!\!+\!\!u_{n+1}x}\\
\text{e portanto }\forall n\in\mathbb{N}^*,\,f_n(x)=f_n(x)=\frac{u_n\!+\!u_{n+1}x}{u_{n-1}\!+\!u_nx}\\[24pt]
\begin{align}
\forall n \in \mathbb{N}^*, f_n(x)=x&\iff\frac{u_n+u_{n+1}x}{u_{n-1}+u_nx}=x\\[6pt]
&\iff u_nx^2+(u_{n-1}-u_{n+1})x-u_n=u_nx^2-u_nx-u_n=0\\[6pt]
&\iff\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{u_n+\sqrt{u_n^2+4u_n^2}}{2u_n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\quad\text{já que }\forall n\in\mathbb{N}^*,\,u_n>0\\\text{ou}\\x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.
\end{align}
[/tex3]
[tex3]
\boxed{\\\hspace{1cm}\\[3pt]\hspace{1cm}\forall n\in\mathbb{N}^*,\,f_n(x)=x\text{ tem 2 raízes reais distintas}\hspace{1cm}\\}
[/tex3]
\boxed{\\\hspace{1cm}\\[3pt]\hspace{1cm}\forall n\in\mathbb{N}^*,\,f_n(x)=x\text{ tem 2 raízes reais distintas}\hspace{1cm}\\}
[/tex3]
Editado pela última vez por rcompany em 28 Out 2021, 15:59, em um total de 1 vez.
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