Sejam [tex3]\alpha [/tex3]
, [tex3]\beta [/tex3]
e [tex3]\gamma [/tex3]
os ângulos que o vetor não nulo [tex3]\vec{u}[/tex3]
faz com os eixos coordenados OX, OY e OZ, respectivamente. Tais ângulos são ditos ângulos diretores do vetor [tex3]\vec{u}[/tex3]
.
Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45◦, 60◦ e 90◦ ?
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Ensino Superior ⇒ Questão de Geometria Analítica UFPI Tópico resolvido
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VitorLeonam
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Out 2021
25
04:29
Re: Questão de Geometria Analítica UFPI
Seja [tex3]\vec{u}=a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}[/tex3]
. Sendo [tex3]\odot[/tex3]
o produto escalar entre dois vetores, temos:
[tex3]\vec{u}\odot \hat{i}=|\vec{u}|\left|\hat{i}\right|\cos(\alpha)[/tex3]
[tex3]a=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1\cdot\cos(45^\circ)[/tex3]
[tex3]a=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot {\sqrt2\over2}[/tex3]
[tex3]a^2=({a^2+b^2+c^2})\cdot {1\over2}[/tex3]
[tex3]2a^2={a^2+b^2+c^2}[/tex3]
[tex3]a^2={b^2+c^2} ~~~~~~(I)[/tex3]
[tex3]\vec{u}\odot \hat{j}=|\vec{u}|\left|\hat{j}\right|\cos(\beta)[/tex3]
[tex3]b=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1\cdot\cos(60^\circ)[/tex3]
[tex3]b=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot {1\over2}[/tex3]
[tex3]b^2=({a^2+b^2+c^2})\cdot {1\over4}[/tex3]
[tex3]4b^2={a^2+b^2+c^2}[/tex3]
[tex3]3b^2={a^2+c^2} ~~~~~~(II)[/tex3]
[tex3]\vec{u}\odot \hat{k}=|\vec{u}|\left|\hat{k}\right|\cos(\gamma)[/tex3]
[tex3]c=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1\cdot\cos(90^\circ)[/tex3]
[tex3]c=0 ~~~~~(III)[/tex3]
Substituindo em [tex3](II)[/tex3] :
[tex3]3b^2={a^2+0^2}[/tex3]
[tex3]3b^2={a^2}[/tex3]
Substituindo em [tex3](I)[/tex3] :
[tex3]a^2={b^2+c^2} [/tex3]
[tex3]3b^2={b^2} [/tex3]
[tex3]2b^2=0 [/tex3]
[tex3]b=0 [/tex3]
Assim, [tex3]a=b=c=0[/tex3] , mas isso implica que [tex3]\vec{u}[/tex3] é o vetor nulo. Logo, não existe vetor com tais ângulos diretores.
Outra forma de ver que isso é impossível é pelo fato de que os ângulos diretores obedecem a seguinte relação:
[tex3]\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=1[/tex3]
Mas para o caso dado, temos que [tex3]\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)={3\over4}[/tex3] .
[tex3]\vec{u}\odot \hat{i}=|\vec{u}|\left|\hat{i}\right|\cos(\alpha)[/tex3]
[tex3]a=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1\cdot\cos(45^\circ)[/tex3]
[tex3]a=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot {\sqrt2\over2}[/tex3]
[tex3]a^2=({a^2+b^2+c^2})\cdot {1\over2}[/tex3]
[tex3]2a^2={a^2+b^2+c^2}[/tex3]
[tex3]a^2={b^2+c^2} ~~~~~~(I)[/tex3]
[tex3]\vec{u}\odot \hat{j}=|\vec{u}|\left|\hat{j}\right|\cos(\beta)[/tex3]
[tex3]b=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1\cdot\cos(60^\circ)[/tex3]
[tex3]b=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot {1\over2}[/tex3]
[tex3]b^2=({a^2+b^2+c^2})\cdot {1\over4}[/tex3]
[tex3]4b^2={a^2+b^2+c^2}[/tex3]
[tex3]3b^2={a^2+c^2} ~~~~~~(II)[/tex3]
[tex3]\vec{u}\odot \hat{k}=|\vec{u}|\left|\hat{k}\right|\cos(\gamma)[/tex3]
[tex3]c=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1\cdot\cos(90^\circ)[/tex3]
[tex3]c=0 ~~~~~(III)[/tex3]
Substituindo em [tex3](II)[/tex3] :
[tex3]3b^2={a^2+0^2}[/tex3]
[tex3]3b^2={a^2}[/tex3]
Substituindo em [tex3](I)[/tex3] :
[tex3]a^2={b^2+c^2} [/tex3]
[tex3]3b^2={b^2} [/tex3]
[tex3]2b^2=0 [/tex3]
[tex3]b=0 [/tex3]
Assim, [tex3]a=b=c=0[/tex3] , mas isso implica que [tex3]\vec{u}[/tex3] é o vetor nulo. Logo, não existe vetor com tais ângulos diretores.
Outra forma de ver que isso é impossível é pelo fato de que os ângulos diretores obedecem a seguinte relação:
[tex3]\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=1[/tex3]
Mas para o caso dado, temos que [tex3]\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)={3\over4}[/tex3] .
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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