Ensino SuperiorQuestão de Geometria Analítica UFPI Tópico resolvido

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VitorLeonam
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Questão de Geometria Analítica UFPI

Mensagem não lida por VitorLeonam »

Sejam [tex3]\alpha [/tex3] , [tex3]\beta [/tex3] e [tex3]\gamma [/tex3] os ângulos que o vetor não nulo [tex3]\vec{u}[/tex3] faz com os eixos coordenados OX, OY e OZ, respectivamente. Tais ângulos são ditos ângulos diretores do vetor [tex3]\vec{u}[/tex3] .

Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45◦, 60◦ e 90◦ ?




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AnthonyC
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Re: Questão de Geometria Analítica UFPI

Mensagem não lida por AnthonyC »

Seja [tex3]\vec{u}=a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}[/tex3] . Sendo [tex3]\odot[/tex3] o produto escalar entre dois vetores, temos:
[tex3]\vec{u}\odot \hat{i}=|\vec{u}|\left|\hat{i}\right|\cos(\alpha)[/tex3]
[tex3]a=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1\cdot\cos(45^\circ)[/tex3]
[tex3]a=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot {\sqrt2\over2}[/tex3]
[tex3]a^2=({a^2+b^2+c^2})\cdot {1\over2}[/tex3]
[tex3]2a^2={a^2+b^2+c^2}[/tex3]
[tex3]a^2={b^2+c^2} ~~~~~~(I)[/tex3]

[tex3]\vec{u}\odot \hat{j}=|\vec{u}|\left|\hat{j}\right|\cos(\beta)[/tex3]
[tex3]b=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1\cdot\cos(60^\circ)[/tex3]
[tex3]b=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot {1\over2}[/tex3]
[tex3]b^2=({a^2+b^2+c^2})\cdot {1\over4}[/tex3]
[tex3]4b^2={a^2+b^2+c^2}[/tex3]
[tex3]3b^2={a^2+c^2} ~~~~~~(II)[/tex3]

[tex3]\vec{u}\odot \hat{k}=|\vec{u}|\left|\hat{k}\right|\cos(\gamma)[/tex3]
[tex3]c=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1\cdot\cos(90^\circ)[/tex3]
[tex3]c=0 ~~~~~(III)[/tex3]
Substituindo em [tex3](II)[/tex3] :
[tex3]3b^2={a^2+0^2}[/tex3]
[tex3]3b^2={a^2}[/tex3]
Substituindo em [tex3](I)[/tex3] :
[tex3]a^2={b^2+c^2} [/tex3]
[tex3]3b^2={b^2} [/tex3]
[tex3]2b^2=0 [/tex3]
[tex3]b=0 [/tex3]
Assim, [tex3]a=b=c=0[/tex3] , mas isso implica que [tex3]\vec{u}[/tex3] é o vetor nulo. Logo, não existe vetor com tais ângulos diretores.

Outra forma de ver que isso é impossível é pelo fato de que os ângulos diretores obedecem a seguinte relação:
[tex3]\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=1[/tex3]
Mas para o caso dado, temos que [tex3]\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)={3\over4}[/tex3] .



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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