Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica Vetores em R3 Tópico resolvido

[VitorLeonam]

Sejam [tex3]\vec{u}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{u}[/tex3]

e [tex3]\vec{v}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}[/tex3]

vetores em [tex3]\mathbb{R3}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R3}[/tex3]

.

Os vetores [tex3]\vec{u}[/tex3]

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[tex3]\vec{u}[/tex3]

e [tex3]\vec{v}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}[/tex3]

são ortogonais se, e somente se ||[tex3]\vec{u} + \vec{v}[/tex3]

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[tex3]\vec{u} + \vec{v}[/tex3]

|| = || [tex3]\vec{u} - \vec{v}[/tex3]

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[tex3]\vec{u} - \vec{v}[/tex3]

||.

[rcompany]

[tex3]

\vec{u}=(x_u,y_u,z_u)\\
\vec{v}=(x_v,y_v,z_v)\\[12pt]
\begin{align}
\vec{u}\perp\vec{v}&\iff\vec{u}\cdot\vec{v} =0\\
&\iff x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=0\\
&\iff x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=- x_ux_v-y_uy_v-z_uz_v\\
&\iff 2x_ux_v+2y_uy_v+2z_uz_v=- 2x_ux_v-2y_uy_v-2z_uz_v\\
&\iff x_u^2+2x_ux_v+x_v^2+y_u^2+2y_uy_v+y_v^2+z_u^2+2z_uz_v+z_v^2=x_u^2-2x_ux_v+x_v^2+y_u^2-2y_uy_v+y_v^2+z_u^2-2z_uz_v+z_v^2\\
&\iff(x_u+x_v)^2+(y_u+y_v)^2+(z_u+z_v)^2=(x_u-x_v)^2+(y_u-y_v)^2+(z_u-z_v)^2 \\
&\iff ||\vec{u}+\vec{v}||=||\vec{u}-\vec{v}||
\end{align}
[/tex3]

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[tex3]

\vec{u}=(x_u,y_u,z_u)\\
\vec{v}=(x_v,y_v,z_v)\\[12pt]
\begin{align}
\vec{u}\perp\vec{v}&\iff\vec{u}\cdot\vec{v} =0\\
&\iff x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=0\\
&\iff x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=- x_ux_v-y_uy_v-z_uz_v\\
&\iff 2x_ux_v+2y_uy_v+2z_uz_v=- 2x_ux_v-2y_uy_v-2z_uz_v\\
&\iff x_u^2+2x_ux_v+x_v^2+y_u^2+2y_uy_v+y_v^2+z_u^2+2z_uz_v+z_v^2=x_u^2-2x_ux_v+x_v^2+y_u^2-2y_uy_v+y_v^2+z_u^2-2z_uz_v+z_v^2\\
&\iff(x_u+x_v)^2+(y_u+y_v)^2+(z_u+z_v)^2=(x_u-x_v)^2+(y_u-y_v)^2+(z_u-z_v)^2 \\
&\iff ||\vec{u}+\vec{v}||=||\vec{u}-\vec{v}||
\end{align}
[/tex3]